二叉树链式结构及实现（前序、中序、后序遍历、层序遍历、分治算法、递归、数据结构、C语言）

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前言

• 本篇博客主要介绍二叉树链式结构以及相关接口函数的实现，内容包括前中后序的遍历，运用分治的思路去编写相关函数
• 重点：分治算法的思想、二叉树的前序遍历
• 代码：C语言

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一、二叉树的链式结构

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是
链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所
在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程
学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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• 说明：在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。代码如下：

typedef int BTDateType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDateType date;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(BTDateType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(node);

	node->date = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}

BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;

	return node1;
}

• 注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。该代码创建出的二叉树如下图所示，后序操作均围绕该树：
  

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• 看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

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• 从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

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二、二叉树的遍历

（一）、前中后序遍历的基本概念

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

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按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
前中后序遍历的函数接口如下：

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

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下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，这里就不过多赘述。

• 前序遍历递归图解： 主要是利用分治思想，转换成左子树和右子树的遍历，然后再继续分治下去，直到边界
  
  

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• 前序、中序、后序遍历均是深度优先遍历，但前序遍历效率更佳、更优

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（二）、前中后序遍历的实现

1、二叉树的前序遍历

void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}

	printf("%d ", root->date);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

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2、二叉树的中序遍历

void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}

	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->date);
	InOrder(root->right);
}

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3、二叉树的后序遍历

void PosOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}

	PosOrder(root->left);
	PosOrder(root->right);
	printf("%d ", root->date);
}

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（三）、其他相关的函数接口

运用分治和二叉树的前中后序遍历，还有以下几个相关的函数接口：

//用分治思想 - 求所有结点的数量
int TreeSize(BTNode* root)

//求叶子结点的数量 - 分治
int TreeLeafSize(BTNode* root)

//求第K层的结点个数    K >= 1
int TreeKLevel(BTNode* root, int k)

//求二叉树的深度
int TreeDepth(BTNode* root)

//二叉树查找值为x的结点
BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDateType x)

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1、求所有结点的数量

int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 :
		TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right) + 1;
}

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2、求叶子结点的数量

int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;

	return TreeLeafSize(root->left) + TreeLeafSize(root->right);
}

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3、求第K层的结点个数

int TreeKLevel(BTNode* root, int k)
{
	assert(k >= 1);
	if (root == NULL)
		return 0;

	if (k == 1)
		return 1;

	return TreeKLevel(root->left, k - 1) + TreeKLevel(root->right, k - 1);
}

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4、求二叉树的深度

int TreeDepth(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int leftDepth = TreeDepth(root->left);
	int rightDepth = TreeDepth(root->right);
	return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}

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5、二叉树查找值为x的结点

BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDateType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;
	
	if (root->date == x)
		return root;

	BTNode* ret1 = TreeFind(root->left, x);

	if (ret1)
		return ret1;

	BTNode* ret2 = TreeFind(root->right, x);

	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

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6、二叉树的销毁 - 后序遍历

void TreeDestroy(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}

	TreeDestroy(root->left);
	TreeDestroy(root->right);
	free(root);
}

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（四）、层序遍历

• 层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
  
  层序遍历一般使用队列来辅助实现，函数接口如下：

// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root);

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1、void LevelOrder(BTNode* root)

// 层序遍历
//队列的数据应该存结点的指针
void LevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
	{
		//进队列
		QueuePush(&q, root);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//出对头的数据
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		printf("%d ", front->date);
		QueuePop(&q);//释放的是队列的结点，而不是树的结点

		//每一层从左至右，依次入队
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
		}

		if (front->right)
		{
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}
	printf("\n");


	QueueDestroy(&q);
}

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2、Queue.h

#pragma once

#include 
#include 
#include 
#include 


//链式结构：表示队列
//前置声明
struct BinaryTreeNode;

typedef struct BinaryTreeNode* QDateType;

typedef struct QueueNode
{
	struct QueueNode* next;
	QDateType date;
}QNode;

//队列的结构
typedef struct Queue
{
	//int size;
	QNode* head;
	QNode* tail;
}Queue;

//初始化队列
void QueueInit(Queue* pq);

//销毁队列
void QueueDestroy(Queue* pq);

//队尾入队列
void QueuePush(Queue* pq, QDateType x);

//队头出队列
void QueuePop(Queue* pq);

//获取队列头部元素
QDateType QueueFront(Queue* pq);

//获取队列队尾元素
QDateType QueueBack(Queue* pq);

//检测队列是否为空
bool QueueEmpty(Queue* pq);

//获取队列的长度(队列中存放数据的个数)
int QueueSize(Queue* pq);

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3、Queue.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma warning(disable:6031)

#include "Queue.h"

void QueueInit(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	pq->head = NULL;
	pq->tail = NULL;
}

void QueueDestroy(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	QNode* cur = pq->head;
	while (cur)
	{
		QNode* next = cur->next;
		free(cur);
		cur = next;
	}

	pq->head = pq->tail = NULL;
}

void QueuePush(Queue* pq, QDateType x)
{
	assert(pq);
	QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		printf("malloc fail");
		exit(-1);
	}

	newnode->date = x;
	newnode->next = NULL;

	if (pq->tail == NULL)
	{
		pq->head = pq->tail = newnode;
	}
	else
	{
		pq->tail->next = newnode;
		pq->tail = newnode;
	}
}

void QueuePop(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));

	if (pq->head->next == NULL)//只剩下一个结点
	{
		free(pq->head);
		pq->head = pq->tail = NULL;
	}
	else//多个结点
	{
		QNode* next = pq->head->next;
		free(pq->head);
		pq->head = next;
	}
}

QDateType QueueFront(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));

	return pq->head->date;
}

QDateType QueueBack(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	assert(!QueueEmpty(pq));

	return pq->tail->date;
}

bool QueueEmpty(Queue* pq)
{
	assert(pq);

	return pq->head == NULL;
}

int QueueSize(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	int size = 0;
	QNode* cur = pq->head;
	while (cur)
	{
		size++;
		cur = cur->next;
	}

	return size;
}

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4、test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma warning(disable:6031)

#include "Heap.h"
#include "Queue.h"

typedef int BTDateType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDateType date;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(BTDateType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(node);

	node->date = x;
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;

	return node;
}

BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;

	return node1;
}



// 层序遍历
//队列的数据应该存结点的指针
void LevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
	{
		//进队列
		QueuePush(&q, root);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//出对头的数据
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		printf("%d ", front->date);
		QueuePop(&q);

		//每一层从左至右，依次入队
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
		}

		if (front->right)
		{
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}
	printf("\n");


	QueueDestroy(&q);
}


int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();

	LevelOrder(root);

	return 0;
}

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5、判断二叉树是否是完全二叉树（*）

bool TreeComplelte(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
	{
		//进队列
		QueuePush(&q, root);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//取对头的数据
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		//每一层从左至右，依次入队
		if (front)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
			QueuePush(&q, front->right);
		}
		else
		{
			//遇到空以后则跳出层序遍历
			break;
		}
	}

	//1. 如果后面全是空，则是完全二叉树
	//1. 如果后面还有非空空，则不是完全二叉树
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		//取对头的数据
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		if (front)
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
	}

	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

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学习记录：

• 本篇博客整理于2022.7.7
• 请多多指教