Lipschitz continuity

函数的连续性

• 连续函数

  一个函数f在点$x_0$处连续，如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$。如果函数f对于区间C中的每一个点都连续，则函数f在区间C上连续。

• 可导函数的连续性

  • 如果一函数是连续的，则称其为$C^0$函数
  • 如果函数存在导函数，且导函数连续，则称其为连续可导，记为$C^1$函数
  • 如果函数n阶可导，且其n阶导函数连续，则称为$C^n$函数

Lipschitz continuity（利普希茨连续）

• 定义

  给定$f:R^m\to R^m$,开集$B\subseteq R^m$，如果存在$\Lambda \in R_0^{+}$（称为利普希茨常数）,满足
  $$||f(x)-f(y)||\le \Lambda ||x-y||,\forall x,y\in B$$
  则称f是满足利普希茨连续的。

• locally Lipschitz-continuous（局部利普希茨连续）

  如果对于$z\in R^m$，存在$L>0$，在集合$B_L(z):=\{y\in R^m:||y-z||<L\}$(z是球心，L是半径)，f是利普希茨连续的，则称f是满足局部利普希茨连续的。

• globally Lipschitz-continuous（全局利普希茨连续）

  如果在空间$R^m$内是利普希茨连续的，则称f是全局利普希茨连续的。

• 注意

  • 在局部利普希茨连续中，$\Lambda$和球心z的选取有关；在全局利普希茨连续中，$\Lambda$是固定的，或者说，与集合空间无关。全局利普希茨连续是局部利普希茨连续的，反之不成立。
  • 在前面的定义中，$||\cdot ||$可以是任意的范数，但是一旦选定以后就不能再改变了。$\Lambda$与范数的选取有关，一般选取的是欧几里得范数(L2范数)。

利普希茨连续与可导性，连续性的关系

• 与连续性的关系

  局部利普希茨连续的函数是连续的
  证明：由定义，$\underset{y\to z}{\lim }||f(x)-f(y)||\le \underset{y\to z}{\lim }\Lambda ||y-z||=0$

• 与可导性的关系

  连续可导的函数是利普希茨连续的。
  证明较为复杂。

参考资料

• 维基百科
• Lipschitz continuity