仿射变换(Affine transformation)与python实践

仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间(vector space)进行一次线性变换(linear transformation)并拼上一个平移(Translation )。所以,本质上仿射变换针对的是某一向量空间(当然该空间中的任一向量)。

其矩阵表达形式(matrix formal)为:

y⃗ m×1=Am×nx⃗ n×1+b⃗ m×1

表示为一个对向量 x⃗  平移 b⃗  ,与旋转缩放 A 的仿射映射。
也即这里的A 控制旋转与缩放, b 控制平移;
也即仿射变换实现了 Rn x⃗ Rn )空间向 Rm y⃗ Rm ) 空间的映射。

上式在齐次坐标(homogeneous coordinates)上,等价于:

[y⃗ 1](m+1)×1=[A0,,0b⃗ 1](m+1)×(n+1)+[x⃗ 1](m+1)×1

我们使用python语言对之进行演示:

import numpy as np
x = np.array((1, 2, 3))
b = np.ones(2)
A = np.random.rand(2, 3)
y1 = np.dot(A, x) + b
                #  array([ 4.17327185,  4.0755495 ])

A_aug = np.hstack((A, b.reshape((-1, 1))))
A_aug = np.vstack((A_aug, np.hstack(np.zeros(3), 1).reshape((1, -1))))
y2 = np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))
                    # array([[ 4.17327185],
                    # [ 4.0755495 ],
                    # [ 1.        ]])


# 上述构造的方式仍稍显繁琐,这里再提供一种方式
A_aug = np.zeros((A.shape[0]+1, A.shape[1]+1))
A_aug[-1, -1] = 1
A_aug[:-1, :-1] = A
A_aug[:-1, -1] = b
np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))


仿射变换(Affine transformation)与python实践_第1张图片

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