题目描述
这是 LeetCode 上的 952. 按公因数计算最大组件大小 ，难度为 困难。
Tag : 「数学」、「并查集」
给定一个由不同正整数的组成的非空数组 nums，考虑下面的图：
- 有
nums.length个节点，按从nums[0]到nums[nums.length - 1]标记； - 只有当
nums[i]和nums[j]共用一个大于 $1$ 的公因数时，nums[i]和nums[j]之间才有一条边。
返回 图中最大连通组件的大小 。
示例 1：
输入：nums = [4,6,15,35]
输出：4示例 2：
输入：nums = [20,50,9,63]
输出：2示例 3：
输入：nums = [2,3,6,7,4,12,21,39]
输出：8提示：
- $1 <= nums.length <= 2 \times 10^4$
- $1 <= nums[i] <= 10^5$
nums中所有值都 不同
枚举质因数 + 并查集
先考虑如何使用 nums 进行建图，nums 大小为 $n = 2 \times 10^4$，枚举所有点对并通过判断两数之间是否存在边的做法复杂度为 $O(n^2\sqrt{M})$（其中 $M = 1e5$ 为 $nums[i]$ 的最大值），无须考虑。
而不通过「枚举点 + 求公约数」的建图方式，可以对 $nums[i]$ 进行质因数分解（复杂度为 $O(\sqrt{nums[i]})$），假设其分解出来的质因数集合为 $S$，我们可以建立从 $S_{k}$ 到 $nums[i]$ 的映射关系，若 $nums[i]$ 与 $nums[j]$ 存在边，则 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 至少会被同一个质因数所映射。
维护连通块数量可以使用「并查集」来做，维护映射关系可以使用「哈希表」来做。
维护映射关系时，使用质因数为 key，下标值 $i$ 为 value（我们使用下标 $i$ 作为点编号，而不是使用 $nums[i]$ ，是利用$nums[i]$ 各不相同，从而将并查集数组大小从 $1e5$ 收窄到 $2 \times 10^4$)。
同时在使用「并查集」维护连通块时，同步维护每个连通块大小 sz 以及当前最大的连通块大小 ans。
Java 代码：
class Solution {
static int N = 20010;
static int[] p = new int[N], sz = new int[N];
int ans = 1;
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
void union(int a, int b) {
if (find(a) == find(b)) return ;
sz[find(a)] += sz[find(b)];
p[find(b)] = p[find(a)];
ans = Math.max(ans, sz[find(a)]);
}
public int largestComponentSize(int[] nums) {
int n = nums.length;
Map> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
int cur = nums[i];
for (int j = 2; j * j <= cur; j++) {
if (cur % j == 0) add(map, j, i);
while (cur % j == 0) cur /= j;
}
if (cur > 1) add(map, cur, i);
}
for (int i = 0; i <= n; i++) {
p[i] = i; sz[i] = 1;
}
for (int key : map.keySet()) {
List list = map.get(key);
for (int i = 1; i < list.size(); i++) union(list.get(0), list.get(i));
}
return ans;
}
void add(Map> map, int key, int val) {
List list = map.getOrDefault(key, new ArrayList<>());
list.add(val);
map.put(key, list);
}
} TypeScript 代码：
const N = 20010
const p: number[] = new Array(N), sz = new Array(N)
let ans = 0
function find(x: number): number {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])
return p[x]
}
function union(a: number, b: number): void {
if (find(a) == find(b)) return
sz[find(a)] += sz[find(b)]
p[find(b)] = p[find(a)]
ans = Math.max(ans, sz[find(a)])
}
function largestComponentSize(nums: number[]): number {
const n = nums.length
const map: Map> = new Map>()
for (let i = 0; i < n; i++) {
let cur = nums[i]
for (let j = 2; j * j <= cur; j++) {
if (cur % j == 0) add(map, j, i)
while (cur % j == 0) cur /= j
}
if (cur > 1) add(map, cur, i)
}
for (let i = 0; i < n; i++) {
p[i] = i; sz[i] = 1
}
ans = 1
for (const key of map.keys()) {
const list = map.get(key)
for (let i = 1; i < list.length; i++) union(list[0], list[i])
}
return ans
};
function add(map: Map>, key: number, val: number): void {
let list = map.get(key)
if (list == null) list = new Array()
list.push(val)
map.set(key, list)
} - 时间复杂度：$O(n\sqrt{M})$
- 空间复杂度：$O(n)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.952 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSou... 。
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