8-7选择排序-堆排序

一.回顾

对此二叉树进行顺序存储（按层序遍历存），图中结点的序号表示数组中存放的位置

i为当前结点序号（从1开始，同数组下标），n表示总的元素个数，当前n=12

其中1-6是叶子结点，因此非叶子结点可表示为1~⌊n/2⌋，叶子结点可表示为⌊n/2⌋+1~n

对于某个结点i
①i的左孩子的序号应为2i
②右孩子应为2i+1
③父节点为⌊i/2⌋
④所在层次为⌈$lo{g}_2(i+1)$⌉或⌊$lo{g}_{2}i$⌋+1
⑤如果2i≤n，表示当前结点i有左孩子
⑥2i+1≤n表示有右孩子
⑦如果当前结点i>⌊n/2⌋，说明当前结点是叶子结点
⑧如果当前结点i≤⌊n/2⌋，说明当前结点是分支节点（非叶子）

二.概念引入：堆

解释：对于一个分支节点i，他的值≥左右孩子的值，称为大根堆。即 根≥左右

解释：对于一个分支节点i，他的值≤任意左右孩子的值，称为小根堆。即 跟≤左右

如图是一个大根堆的存储视角（左）和逻辑视角（右）

三.大根堆的建立

从最后一个分支节点开始检查
09→78→17→53

从09开始，如果其值大于左右孩子，则保存不变，继续看上一个分支节点。否则，找到左右孩子中最大的，与之交换

此处09和32交换

检查78，和87换

检查17，和45换

检查53，和87换

完成。刚刚降下来的53不满足大根堆，于是53和78换
注：在代码执行时，需要先判断（如果插入）是否满足大根堆，如果满足再插入53。如果不满足，将大的孩子拿上去，再重复对比其孩子

至此完成了大根堆的建立

代码实现

void BuildMaxHeap(int a[],int len){
		for (int i = len / 2; i > 0; i--)//从最后一个非叶子结点开始构建大根堆
			HeadAdjust(a, i, len);
}

void HeadAdjust(int a[], int k, int len)//建立大根堆
{
	a[0] = a[k];//0作为哨兵，暂存根节点的值
	for (int i = 2 * k; i <= len; i=i*2)//len表示数组长度（从1起），即元素个数
	{
		if (i<len&&a[i] < a[i + 1]) 
			i++;//i指向左右孩子较大的一个，i
		if (a[0] >= a[i]) 
			break;
		else {
			a[k] = a[i];//大的孩子拿上去，当前位置可视为空缺
			k = i;//k指向当前空缺位置。能否将a[0]放入，需要再判断待插入元素和其孩子的关系，看是否满足大根堆，因此继续for循环。详见下图（图1）
		}
	}
	a[k] = a[0];//for循环结束，满足大根堆，a[0]放回来
}

$$图1$$

四.基于大根堆的 从小到大的选择排序-堆排序

回顾选择排序：选择最大（小）的元素加入有序子序列

将堆顶的87与堆底元素9交换

此时已将最大的元素放到了正确的位置

当前在堆顶的09不满足大根堆，调用HeadAdjust(int a[], int k, int len)建立新的大根堆。注意此时的len变为了7（已经确定位置的元素87无需参与）

09按如上的方法下坠，至此完成了第一趟的处理

第一趟的结果：确定了最大元素的正确位置，将剩余元素恢复成了大根堆

后续的处理同上，经过n-1趟的处理完成了排序

同样小根堆实现的是递减的排序

代码实现（大根堆的堆排序）

#include
#include
using namespace std;
void HeadAdjust(int a[], int k, int len)//建立大根堆
{
	a[0] = a[k];//0作为哨兵，暂存根节点的值
	for (int i = 2 * k; i <= len; i=i*2)
	{
		if (i<len&&a[i] < a[i + 1]) 
			i++;//i指向左右孩子较大的一个，i
		if (a[0] >= a[i]) //和左右孩子中较大的比
			break;
		else {
			a[k] = a[i];
			k = i;//继续下坠
		}
	}
	a[k] = a[0];
}
int main()
{
	int a[6] = { 0,432,21,46,4322,645 };
	int len = 5;
	for (int i = len / 2; i > 0; i--)//从最后一个非叶子结点开始构建大根堆
		HeadAdjust(a, i, len);
	for (int i = len; i > 1; i--)//a[1]放到最后
	{
		swap(a[i], a[1]);
		HeadAdjust(a, 1, i - 1);//剩余元素再构建
	}
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
	{
		cout << a[i] << " ";
	}
}

五.效率分析

1.时间复杂度
（1）建堆过程：
每次最多对比关键字两次：左右孩子比较，根和大的那个比较
如果只有左孩子，则只需要一次关键字的对比
如果树高为h，当前结点在第i层，则一共需要下坠h-i层，对比关键字不超过2(h-i)
而h=⌊$lo{g}_{2}n$⌋+1
第i层最多有$2^{i-1}$个结点，只有第1~h-1层才可能出现元素下坠
因此第一层有$2^{1-1}$=1个结点，下坠共需要1×2(h-1)次关键字对比；第二层共有$2^{2-1}$=2个结点，下坠共需要2×2(h-2)次关键字对比；第h-1层共有$2^{h-2}$，下坠共需要$2^{h-2}$×2次关键字对比，带入h，最终结果≤4n

因此建堆的过程，关键字对比次数不超过4n，建堆时间复杂度为O(n)

（2）排序过程
一共需要n-1趟，每趟都要交换两个元素，并进行堆顶元素的下坠，下坠最多h-1层，而每下坠一层最多对比关键字2次。
h=⌊$lo{g}_{2}n$⌋+1，因此下坠的时间复杂度不会超过O($lo{g}_{2}n$)，一共n-1趟排序的时间复杂度O(n$lo{g}_{2}n$)

因此堆排序的时间复杂度=建堆+排序=O(n$lo{g}_{2}n$)

2.空间复杂度O(1)
3.稳定性

if (i<len&&a[i] < a[i + 1]) i++;//i指向左右孩子较大的一个，相等时保持左孩子不变
		if (a[0] >= a[i]) break;

2和1交换，2放到末尾，因此是不稳定的

过程如下


结果

六.总结