数据结构与算法之时间复杂度与空间复杂度

一、时间复杂度

• 我们将加、减、乘、除、打印等基本的操作认为对时间的消耗是1，即执行一次操作的时间复杂度是$O(1)$。$O$在数学中表示一个式子的上界，简单理解为估计、大约的意思。
  
• 对于下图中2个例子的时间复杂度：
  1）第一个例子：我们认为3个print应该是$O(3)$，但最小的单位是$O(1)$，对于并列的操作只计算一次复杂度，即$O(1)$；
  2）第二个例子中：第一层for循环里有一个print，要执行n次，在里面嵌套一个for循环，循环里还有print，这个print要执行$n^2$次，所以我们认为整体的时间复杂度为$O(n+n^2)$，但时间复杂度只是估计值，取最大即可，所以认为时间复杂度为$O(n^2)$
  
• 对于下图中的时间复杂度，当n=64时，打印64，32，16，8，4，2，共打印6次，而$2^6=64，{\log }_{2}64=6$，所以时间复杂度为$O({\log }_{2}n)$或$O(\log n)$。
  
• 当算法过程出现循环折半的时候，时间复杂度就会出现$\log n$
• 总结：
  1）时间复杂度是用来估计算法运行时间的一个式子（单位）；
  2）一般来说，时间复杂度高的算法比复杂度低的算法慢；
  3）常见的时间复杂度（按效率排序）：
  $$O(1)<O(\log n)<O(n)<O(n\log n)<O(n^2)<O(n^2\log n)<O(n^3)$$
  4）复杂问题的时间复杂度：
  $$O(n!)，O(2^n)，O(n^n)$$
• 如何快速判断时间复杂度：

二、空间复杂度

• 空间复杂度：用来评估算法内存占用大小的式子；
• 空间复杂度的表示方式与时间复杂度完全一样：
  1）算法使用了几个变量：$O(1)$；
  2）算法使用了长度为n的一维列表：$O(n)$；
  3）算法使用了m行n列的二维列表：$O(mn)$；
• 空间换时间：采用更多的空间来换取运行速度。