数学建模优化类问题—动态规划

今天学长给大家带来动态规划模型的讲解，它是我们数学建模比赛中非常常见的一种算法

目录

概述：

动态规划模型的建立：

模型建立要点：

动态规划的求解：

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概述：

建立动态规划的模型，就是分析问题并建立问题的动态规划基本方程。

成功地应用动态规划方法的关键，在于识别问题的多阶段特征，将问题分解成为可用递推关系式联系起来的若干子问题，而正确建立基本递推关系方程的关键又在于正确选择状态变量，保证各阶段的状态变量具有递推的状态转移关系.

动态规划模型的建立：

动态规划模型的构成要素：阶段、状态变量、决策变量、状态转移方程以及指标函数，如下图所示

接下来我们以资源分配问题为例介绍动态规划的建模条件及解法。资源分配问题是动态规划的典型应用之一，资源可以是资金、原材料、设备、劳力等，资源分配就是将一定数量的一种或几种资源恰当地分配给若干使用者，以获取最大效益。

例1：某公司有资金10万元，若投资于项目i(i=1,2,3)的投资额为xi时，其收益分别为问应如何分配投资数额才能使总收益最大?

首先这是一个与时间无明显关系的静态最优化问题，可列出其静态模型：

 

 

模型建立要点：

1.分析题意，识别问题的多阶段特性，按时间或空间的先后顺序适当地划分为满足递推关系的若干阶段，对非时序的静态问题要人为地赋予“时段”概念。

2.正确地选择状态变量，使其具备两个必要特征：

（1）可知性；即过程演变的各阶段状态变量的取值，能直接或间接地确定。

（2）能够确切地描述过程的演变且满足无后效性。即由第k阶段的状态sk出发的后部子过程，可以看作是一个以sk为初始状态的独立过程。

3.根据状态变量与决策变量的含义，正确写出状态转移方程或转移规则。

4.正确列出最优指标函数的递推关系及边界条件（即基本方程）。

动态规划的求解：

动态规划的求解有两种基本方法：逆序解法（后向动态规划方法）、顺序解法（前向动态规划方法）。

逆序解法即寻优的方向与多阶段决策过程的实际行进方向相反，从最后一段开始计算逐段前推，求得全过程的最优策略。与之相反，顺序解法的寻优方向与过程的行进方向相同，计算时从第一段开始逐段向后递推，计算后一阶段要用到前一阶段的求优结果，最后一段计算的结果就是全过程的最优结果。

顺序解法与逆序解法本质上并无区别，一般来说，当初始状态给定时可用逆序解法，当终止状态给定时可用顺序解法。若问题给定了一个初始状态与一个终止状态，则两种方法均可使用。两者的不同之处主要有三点：状态转移方式不同；最优指标函数定义不同；基本方程形式不同。

1. 状态转移方式不同

 2.指标函数的定义不同

 3.基本方程形式不同

 这就是本期动态规划的全部内容了