GPU求解粘性不可压流体

 
随着科学计算可视化、医疗图像、虚拟现实等学科的发展和娱乐产业的推动，高性能计算往往伴随着计算机图形应用。目前图形处理器的浮点计算性能已超过同等级CPU的性能。一些的研究者把非图形领域的计算从CPU 转移到GPU上，称为图形处理器的通用计算即GPGPU(General Purpose Computation on GPUs)

图-9 GPU和CPU浮点运算性能比较

2000年Hopf 在GPU上实现小波变换，2001年Larsen利用多纹理技术做矩阵运算，2002年Harris在GPU上用细胞自动机(CA)仿真各种物理现象，Purcell加速光线跟踪算法。2003年是GPGPU领域具有里程碑意义的一年，Kruger实现了线性代数操作，Li实现了Lattice Boltzmann的流体仿真，Lefohn实现了Level Set方法等一大批成果。2004年，Govindaraju在数据库领域应用取得进展。商业领域，Apple推出支持GPU的视频工具，2005年10月ATi和物理引擎厂商Havok宣布合作开发基于GPGPU的物理计算API。这期间，GPGPU应用领域越来越广，也越来越深入；图形标准API也相应推出一些新特性，提升图形应用的同时兼顾通用计算；GPU硬件厂商也通过这些研究发现不足，从而改进自己的图形处理器。 

在GPU上实现流体的计算与仿真是GPGPU在科学计算中应用研究的热点。由于GPU特殊的体系和编程模型，在图形处理器上实现高效的数值仿真需要数值方法具有以下特点：
1)简洁的数据结构。GPU通用计算以纹理作为输入数据，片元程序作为计算核。复杂的数据结构需要在片元程序中计算纹理偏移，保留较多的中间变量，导致计算核计算效率下降。
2)精简的计算步骤。采用多遍绘制需要把输出的数据保存至纹理，以供下一个计算核取用。多遍绘制是个耗时的过程，所以在计算中要尽量减少多遍绘制次数。
3)统一的计算表达。由于GPU采用SIMD的并行计算方式，统一的数据表达有助于减少片元程序中条件和分支语句的使用，提高计算核的效率。

代表性的相关研究工作如下:
[1]Krüger J, Westermann R. Linear Algebra Operators for GPU Implementation of Numerical Algorithms [J]. ACM Trans. on Graphics,2003,22(3):908-916
[2]Harris M J. Fast Fluid Dynamics Simulation on the GPU [A].Fernando R.GPU Gems: Programming Techniques, Tips, and Tricks for Real-Time Graphics[M].  America :Addison-Wesley,2004. pp.637-665
[3]Wu EH, Liu YQ, Liu XH. An Improved Study of Real-time Fluid Simulation on GPU. Journal of Computer Animation & Virtual World (invited paper ofCASA2004), 2004,15(3-4):139~146
[4]Liu Y Q, Liu X H, Wu E H. Real-Time 3D Fluid Simulation on GPU with Complex Obstacles [C]. In Proc. of Pacific Graphics 2004, IEEE Computer Society, Oct. 2004, pp.247-256
[5]Scheidegger C E, Comba J L D, Cunha R D. Navier-Stokes on Programmable Graphics Hardware using SMAC [C] Proceedings of the XVII Brazilian Symposium on Computer Graphics and Image Processing (SIBGRAPI’04),2004,pp.300-307
[6]Li W, Fan Z, Wei XM, Kaufman A. GPU-Based Flow Simulation With Complex Boundaries. Technical Report, Computer Science Department, SUNY at Stony     Brook, 2003.

除了[6]中使用Lattice Boltzmann方法外，其余的方法使用的都是经典的计算流体力学数值方法，J. Stam的Stable Fluid方法。该计算方法在图形仿真领域被广泛使用，但是由于数值耗散过大，该方法仅能满足视觉上的效果而不具工程上的指导意义。[5]所采用的MAC方法由于采用显式的方程解法，受到数值稳定性问题的困扰，在应用中受到限制。所以我们希望能够找到一中折中的方法：它在保证求解速度的同时能够相对提高仿真精度。

在计算流体力学(CFD)对非定常不可压流动方程的数值模拟中，通常将速度和压力解耦, 分别求解速度和压力, 常见的有SIMPLE方法和投影方法。SIMPLE 方法在计算非定常流动时, 需要进行很多次内迭代, 计算效率较低, 而投影方法通过预测和校正两步, 就得到了新时刻的速度和压力, 因而具有较高的计算效率。综合GPU计算的特点和已有的工作，我们选取文献[7]Ye T, Mittal R, Udaykumar H S. An Accurate Cartesian Grid Method for Viscous Incompressible Flows with Complex Immersed Boundaries [J]. Journal of Computational Physics,1999,156,209-240的计算方法，在笛卡儿网格下用投影法做不可压流体的数值仿真。为了能理解这篇文献，我们先介绍一些基础的概念

1. Navier-Stokes方程和有限体元离散方法

1822年Navier建立了粘性流体的基本运动方程，后来Stokes完善了该方程，称作Navier-Stokes 方程，是计算流体力学的基础。考虑没有外力作用的粘性不可压流体的Navier-Stokes方程，其控制方程的无量纲形式为:
（1）

（2）             

该方程组由对流场中某一确定的空间区域的受力分析得到，该空间区域称作控制体。控制体的边界称作控制面。其中方程(2-1)由控制体的动量守恒得到，在Navier-Stokes方程组中称为动量方程。方程(2)反映了控制体的质量守恒性质，称作连续性方程。方程中u为速度向量，p为压力，Re为反映流体粘性属性的雷诺系数。在方程(1)中，左边第一项称为时间倒数项，第二项为对流项；右边第一项称为压力梯度项，第二项为粘性耗散项。

在方程(1)两端对控制体进行积分，应用高斯公式后，原微分方程变为如下的积分形式：

                 (3)

其中 cv 代表控制体， cs 代表控制面。流场空间由控制面分成有限个的控制体单元，利用高斯公式把变量在控制体内的积分变成在控制面上的积分，该方法称为有限体元离散方法。下图 -10 所示为流体的变量在 2 维非交错笛卡儿网格上有限体元离散方法。

图-10 

2.Helmholtz-Hodge分解和投影法 

Chorin最早提出投影方法(Projection Method),是一种将速度和压力解耦来求解的不可压粘性方程的数值方法。该方法是分为预测-校正的两步:第1步,不考虑不可压条件，在一个估计的压力下求解动量方程得到所谓中间速度场，第2步,将中间速度场进行Helmholtz-Hodge分解，这个过程称为速度场的"投影",由此可以得到满足连续方程的速度场,并对压力场进行修正。该方法又称为分步法(Fractional-Step Method)。

Helmholtz-Hodge分解理论指出，任何一个矢量场w可唯一的分解为一个散度为零的矢量场u和一个标量场p的梯度之和，如(4)所示，其中将（2）代入方程 。所以这个散度为零的矢量场可以如(5)表达。

(4)

(5)

如果对(4)方程两边求散度，得到(6)的表达，该表达式称为压力泊松方程。

(6)     

投影法的分步解法对Navier-Stokes方程采用Helmholtz-Hodge分解，可以将压力项从动量方程中移出，先求解中间速度场w，然后用(6)求解压力场p，最后用(5)对中间速度场进行压力校正，求出最终速度场u。
 

3.笛卡儿网格下投影法求解非定常流 

把上述的方法应用于有限体元离散的形式，可以得到我们使用的方法。对方程(3)的对流项采用Adams-Bashforth 的二阶格式处理，对耗散项采用隐式的Crank-Nicolson方式离散。采用上述的离散方式消除了对粘性稳定性的限制。没有压力梯度项的方程(3)，写成半隐式的离散形式如(7)所示：

(7)

其中u^*表示中间速度场，定义在每个有限体的中心位置，U为控制面速度，定义在每个控制面的中心位置。上标n代表时间步， 表示垂直于边界的外法向量。采用非交错网格如图-10(a)所示，每个有限体元变量位置的定义如图-10(b)所示。方程(7)的中间速度场的边界条件设为物理边界条件，即边界位置的中间速度等于边界位置的下一时刻的实际速度。重写投影方程和连续性方程，可以积分形式下的泊松方程(8)，

                 

(8)

     (9)
      (10)

其中U*为中间速度场的控制面中心的速度，由插值相邻的中间速度得到。该泊松方程的压力边界条件为统一的Neumann边界条件，即边界上压力梯度在外法向上为0。经过(7)和(8)计算中间速度场和压力场之后，最终的速度场由方程(9)(10)得到,其中cc 和fc表示在控制体中心和控制面上求压力的梯度。最终速度的边界条件为 。

当下一时刻的各个场的值都知道后，可以重新开始新一轮计算，在时间上不断推进各个变量。综合以上计算，总的计算过程为以下3步骤：
1)计算迭代中间速度场，方程(7)
2)由中间速度场计算迭代压力场，方程(8)
3)由压力场计算下一时刻速度场，方程(9)(10)

整个操作过程如图-11所示，我们在NVIDIA GeForce 5700 GPU 128MB显存， 128bits带宽，驱动程序版本为66.72；AMD 650MHz CPU 192MB内存,AGP 4X上实现所有的算法。为了使整个计算在32位浮点精度上运行，需要综合使用OPENGL扩展 。GL_NV_texture_rectangle和NV_float_buffer配合使用可得到浮点纹理。WGL_ARB_pbuffer和NV_float_buffer配合使用会得到浮点的pbuffer。WGL_ARB_pbuffer、NV_float_buffer、GL_NV_texture_rectangle、NV_render_texture_rectangle和WGL_ARB_render_texture使用会获得浮点数的绘制到纹理操作。

对 GPU 通用计算流程和OpenGL性能进行测试，我们假定一个多遍绘制的通用计算应用需要如下一些步骤:

1）  初始化数据：在主存中初始化数据空间，给数组赋初值。

2）  初始化第1遍绘制的纹理：把主存中数据传到显存中，用第1步初始化的数组给二维纹理赋初值。

3）  使pbuffer有效,绑定当前纹理

4）  绑定片元程序

5）  并行程序执行：绘制矩形，设纹理坐标,图形管线执行片断程序

6）  获取中间数据：把pbuffer中的数据传递到纹理中，为下一遍绘制作准备。拷贝到纹理，重复5～7步，多遍计算。

7)   返回数据到主存：把存在显存pbuffer中的结果返回到主存中。该步骤可选方法有：7.1）选用pixel_buffer_object，启用DMA传输；7.2)直接使用glReadPixels。

8）  数据后期处理

在Windows XP操作系统下测试整个计算过程，采用同一个简单的线性插值片元程序，分别对128×128、256×256、512×512这3组数据计算进行测试，结果如下表。

通用计算总过程测试表

步骤	128×128耗时（ms）	256×256耗时（ms）	512×512耗时（ms）
1	2.753	11.270	50.194
2	1.764	7.522	34.276
3	0.631	0.559	0.573
4	0.016	0.021	0.018
5	2.534	9.277	36.490
6	0.062	0.065	0.077
7.1	0.295	0.204	0.212
7.2	4.001	14.285	56.226
8	0.447	0.543	1.231

从该表中可以看出，图形操作显存和主存之间传递数据是耗时的过程，包括2和7.2步骤。从第4步的测试可以看出对于同样的片元程序，它的计算耗时和数据规模成正比，即数据规模每增长4倍，耗时也增长4倍。所以，优化GPU 的通用计算应该尽量减少显存和主存之间的数据传递。