PCA推导以及iris实例

主成成分分析pca

\qquad 非监督学习算法。
\qquad 通过正交变换将数据换到新坐标中，从而将原本可能相关的便便（特征）投影到线性无关的变量（特征）。如果变换后的维度小于变换前的维度，则实现降维。

为什么要对数据进行去中心化？

\qquad 中心化后，计算方差，协方差，协方差矩阵等运算更加方便。

为什么要保证投影方向方差最大？

\qquad 投影方差越大，意味着数据越分散，相对于原始数据来说，能够保留的信息越多。如果方差很小，则表示数据很大部分重叠，保留信息少。
\qquad 对于PCA来说，作为分类回归等任务的前置步骤（数据预处理阶段）。特征方差越大，说明样本之间区分越明显，这样就越容易完成分类或回归任务

为什么选择向量时，要与之前的向量正交？

\qquad 如果没有限制，则第一主成分和第二主成分相同，无意义。
\qquad 选择正交的基，是因为正交的基相关性为0。这样能够保留最大的信息。如果基之间是相关的，当样本数据向基向量投影时，也就一定相关，选在重叠。

为什么pca要选择单位向量？

\qquad 向单位向量上投影时，投影值计算更方便，向量内积即可。

向量v在w上的投影为：pro=|v|$\ast$cosθ
由：v$\ast$w=|v|$\ast$|w|$\ast$cosθ
得到cosθ=$\frac{v\ast w}{|v|\ast |w|}$
上式带入投影：pro=$\frac{v\ast w}{|w|}$
如果w为单位向量，则投影为内积,直接点成就行。

步骤

\qquad 假设我们要将数据投影到k个坐标轴上，需要新基k个向量。步骤如下：

1. 数据去中心化，使得每个维度为0
2. 寻找一个单位向量$w_1$（坐标轴，第一主成分），使得数据在该方向上投影方差最大
3. 寻找第二个单位向量$w_2$（第二主成分），使得$w_2$与之前找到的所有向量正交，并使改箱量上的投影次大。（次与$w_1$上的方差）
4. 按上述方式在，依次找到$w_1$，$w_2$…$w_k$。$w_k$为第k主成分，样本数据在$w_k$的投影方差第k大
5. 将得到的单位向量$w_1$，$w_2$…$w_k$。$w_k$构成一个基。该基就是新的坐标系
6. 将样本数据投影到该基上么就完成正交变换

推导

数据集（假定已经去中心化）：X=（$x_1$,$x_2$…$x_m$）∈$R^{n\times m}$。n维m个
$x_1$∈$R^{n\times 1}$
 
待求：W=（$w_1$,$w_2$…$w_d$）∈$R^{n\times d}$。d为降维后维数
$w_1$∈$R^{n\times 1}$，w用原基表示，所以仍然是n维。
约束条件：$W^T$W=I（单位矩阵）∈$R^{d\times d}$
 
新基下的数据集：Z=（$z_1$,$z_2$…$z_m$）∈$R^{d\times m}$。d维m个
\qquad $z_1^T$={$z_{11}$,$z_{12}$…$z_{1d}$}
         \qquad\;\;\;\; ={$w_1^T$$x_1$,$w_2^T$$x_1$…$w_d^T$$x_1$}

$z_{ij}$=$w_j^T$$x_i$
$z_i$=$W^T$$x_i$
 

最小重构误差角度

\qquad 重构$x_i$：新基的各个方向拉长相应投影倍，再全部加和。（向量相加）
\qquad 则重构的$x_i$可表示为：${\sum }_{j=1}^d$$z_{ij}$$w_j$=W$z_i$
\qquad 重构后误差最小，得到目标函数：
\qquad \qquad $argmi{n}_w$        \;\;\; ${\sum }_{i=1}^m$||$x_i$-${\sum }_{j=1}^d$$z_{ij}$$w_j$$|{|}^2$
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$($x_i$-W$z_i$${)}^T$($x_i$-W$z_i$)
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$[$x_i^T$$x_i$-$x_i^T$W$z_i$-$z_i^T$$W^T$$x_i$+$z_i^T$$W^T$W$z_i$]
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$[$x_i^T$$x_i$-2$z_i^T$$W^T$$x_i$+$z_i^T$$z_i$]
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$[$x_i^T$$x_i$-2$z_i^T$$z_i$+$z_i^T$$z_i$]
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$[-$z_i^T$$z_i$+$x_i^T$$x_i$]
 
notes: \qquad $x_i^T$W$z_i$以及$z_i^T$$W^T$$x_i$互为转置，且都是一个数，可以合并
\qquad \qquad 约束条件：$W^T$W=I（单位矩阵）∈$R^{d\times d}$
\qquad \qquad $x_i^T$$x_i$为原始数据方差，是一个常数，可省略
 
此时目标函数可优化为：
\qquad \qquad $argmi{n}_w$        \;\;\; ${\sum }_{i=1}^d$-$z_i^T$$z_i$
\qquad \qquad \qquad \qquad =-${\sum }_{i=1}^d$$z_i^T$$z_i$
\qquad \qquad \qquad \qquad =-${\sum }_{i=1}^d$tr($z_i$$z_i^T$)
\qquad \qquad \qquad \qquad =-${\sum }_{i=1}^d$tr($W^T$$x_i$$x_i^T$$W$)
\qquad \qquad \qquad \qquad =-tr($W^T$${\sum }_{i=1}^d$$x_i$$x_i^T$$W$)
令C=${\sum }_{i=1}^d$$x_i$$x_i^T$=X$X^T$（为散度矩阵，再除以个数减一就是协方差矩阵）
\qquad \qquad \qquad \qquad =-tr($W^T$C$W$) \qquad \qquad \qquad (1)
s.t.$W^T$W=I
 
由拉格朗日乘数法得到：
\qquad L（W,∧）=-tr($W^T$C$W$)+tr（∧（$W^T$W-I））
∧=diag（${\lambda }_1$，${\lambda }_2$,…,${\lambda }_d$)
L对W求导，并令结果为0，得到：矩阵求导
\qquad \qquad \qquad \qquad （C+$C^T$）W=2W∧
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad CW=W∧ \qquad \qquad \qquad (2)
对任意${\lambda }_i$都有：
\qquad \qquad \qquad \qquad C$w_i$=${\lambda }_i$$w_i$
即${\lambda }_i$为C的特征值，$w_i$为对应的特征向量。
 
（2）带入（1）得到：
\qquad \qquad \qquad $argmi{n}_w$        \;\;\; -tr($W^T$C$W$)
\qquad \qquad \qquad =-tr($W^T$$W$∧)
\qquad \qquad \qquad =-tr(∧)
最小的重构误差==对角矩阵的迹和的最大值
W就位最大的d个特征值对应的特征向量

最大方差角度

投影后数据方差最大
\qquad \qquad $argma{x}_w$        \;\;\; ${\sum }_{i=1}^d$($z_i$${)}^2$
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$$z_i^T$$z_i$
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$tr($z_i$$z_i^T$)
\qquad \qquad \qquad \qquad =${\sum }_{i=1}^d$tr($W^T$$x_i$$x_i^T$$W$)
\qquad \qquad \qquad \qquad =tr($W^T$C$W$)
即求最大的迹，最大的d个特征值。与最小重构相同了

手动实现

步骤

1. 对样本数据进行中心化
2. 求散度矩阵X$X^T$
3. 求X$X^T$的特征值以及特征向量
4. 选取最大的d个特征值对应的特征向量组成W=（$w_1$,$w_2$…$w_d$）
5. 降维后数据Z=$W^T$X

iris代码

单步

数据集是m×n，为推到中的数据集的转置

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#载入鸢尾花数据集
from sklearn import datasets
iris=datasets.load_iris()
x=iris.data
y=iris.target

#第一步，去中心化
#按列求和
x_sum=np.sum(x,axis=0)
x_mean=x_sum/x.shape[0]
x=x-x_mean
#x=x-x.mean(axis=0)
print(x)

#求C=x^TX
c=np.dot(x.T,x)
print(c)

#求特征值以及特征向量
val,vector=np.linalg.eig(c)
print(val)
print(vector)

#对特征值进行排序，index保存索引
index=np.argsort(-val)
print(index)

#print(index[:2])
#投影矩阵 -为最大的特征值对应特征向量，即index对应索引对应的列。降到2维
A=vector[:,index[:2]]
print(A)

#投影后矩阵
Y=np.dot(x,A)
print(Y)

#画图
for i in range(len(y)):
    if y[i]==0:
        plt.scatter(Y[i][0],Y[i][1],c='r',marker='.')
    elif y[i]==1:
        plt.scatter(Y[i][0],Y[i][1],c='b',marker='.')
    else:
        plt.scatter(Y[i][0],Y[i][1],c='g',marker='.')
plt.show()

这个图和网上的第二主成分和网上的图相反。但是没关系，是第二主成分方向反了的问题，并不影响。在Y[i][1]前面加负号就得到了网上的图

#画图
for i in range(len(y)):
    if y[i]==0:
        plt.scatter(Y[i][0],-Y[i][1],c='r',marker='.')
    elif y[i]==1:
        plt.scatter(Y[i][0],-Y[i][1],c='b',marker='.')
    else:
        plt.scatter(Y[i][0],-Y[i][1],c='g',marker='.')
plt.show()

函数

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets

#x:一个数据为一行
def PCA_fit(d_dim,x):
    #去中心化
    x=x-x.mean(axis=0)
    #求C
    C=np.dot(x.T,x)
    #求特征值以及特征向量
    val,vector=np.linalg.eig(C)
    #求排序索引
    index=np.argsort(-val)
    #投影矩阵 
    A=vector[:,index[:d_dim]]
    #返回降维后的数据
    return np.dot(x,A)

iris=datasets.load_iris()
x=iris.data
y=iris.target
#降维后数据Y,调用函数
Y=PCA_fit(2,x)
#画图
for i in range(len(y)):
    if y[i]==0:
        plt.scatter(Y[i][0],-Y[i][1],c='r',marker='.')
    elif y[i]==1:
        plt.scatter(Y[i][0],-Y[i][1],c='b',marker='.')
    else:
        plt.scatter(Y[i][0],-Y[i][1],c='g',marker='.')
plt.show()

sklearn

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from sklearn.decomposition import PCA

iris=datasets.load_iris()
x=iris.data
y=iris.target
pca=PCA(n_components=2)#降到二维
pca.fit(x)
Y=pca.fit_transform(x)#降维后数据
#画图
for i in range(len(y)):
    if y[i]==0:
        plt.scatter(Y[i][0],Y[i][1],c='r',marker='.')
    elif y[i]==1:
        plt.scatter(Y[i][0],Y[i][1],c='b',marker='.')
    else:
        plt.scatter(Y[i][0],Y[i][1],c='g',marker='.')
plt.show()

优缺点

优点
减少特征空间维度，降低了数据复杂度
方便模型拟合
缺点
计算成本高
可能会降低模型精度，因为会丢弃一些信息
转换过程复杂，结果难以解释
对异常值敏感