【数学建模】 插值算法

        插值算法在数学建模中是一个非常重要的算法，通常用来对已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要利用插值算法来“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

下面我来介绍数学建模比赛中常用的插值算法：拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值、三次样条插值等。

1. 拉格朗日插值法

一般地，若已知y = f(x)，在互不相同 n+1 个点X1,X2,...,Xn处的函数值y0,y1,y2...,yn,则可以考虑n+1个点的、次数不超过n的多项式y = Pn(x),使其满足：

 要估计任一点ξ，ξ≠xi,i=0,1,2,...,n,则可以用Pn(ξ)的值作为准确值f(ξ)的近似值，此方法叫做“插值法”。

称式（*）为插值条件（准则），含xi(i=0,1,...,n)的最小区间[a,b]，其中a=min{x0,x1,...,xn}，b=max{x0,x1,...,xn}。

定理

     满足插值条件的、次数不超过n的多项式是存在而且是唯一的。

构造拉格朗日插值多项式：

要构造拉格朗日插值多项式，那么需要先知道什么是拉格朗日插值多项式；

存在n个点：(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，存在一个函数f(x)经过这n个点，那么此时这个函数f(x)就称为拉格朗日插值多项式。

下面通过举例来简述构造方法：

1. 两个点：（x0,y0）,（x1,y1）构造一个函数f(x)经过这2个点。

不难发现，函数f(x)经过这2个点。

2. 三个点：（x0,y0）,（x1,y1）,（x2,y2）构造一个函数f(x)经过这3个点。

Ln(x)为拉格朗日插值多项式。

以上公式中x后面的0，1，2，...，k,i,...,n,n+1全部都是下标。

2. 牛顿插值法

差商的定义：

称   为函数f(x)关于点x0，xk的一阶差商(亦称均差)。

二阶差商：

K阶差商：

牛顿插值法公式：

很明显，与拉格朗日插值法相比，牛顿插值法的计算具有继承性，也就是说在计算x3处的插值时，不会牵扯到x3后面数值的运算，只会应用到前面数值的运算。

这两种插值法都存在龙格现象，也就是在图形的两端处会波动增大，产生明显的震荡。

因此这两种插值法应用不多。

3. Hermite插值

原理：

 相关定理：

 实际上直接使用Hermite插值得到的多项式次数较高，也存在这龙格现象，因此在实际应用中经常使用三次Hermite插值多项式。

matlab代码的实现结果：

使用pchip函数可实现

 4. 三次样条插值

 matlab代码实现结果：

使用spline函数可实现

由结果可以看出，三次样条插值算法的曲线比Hermite插值算法所得到的曲线更为平滑。在实际应用中这两种插值算法都具有好的应用性。

如果对数学建模算法感兴趣的朋友，可以通过该链接(https://b23.tv/av20238704/p1 )去找资料学习数学建模相关算法。