NR 物理层 卷积|狄拉克函数 2- 狄拉克函数和傅里叶变换

参考:

    NR 物理层 卷积|狄拉克函数 2- 狄拉克函数和傅里叶变换_第1张图片

前言:

       这里主要结合抽样信号讲解一下狄拉克函数和的意义,抽样函数的傅里叶变换,

以及如何理解狄拉克函数

Explains the Delta Impulse Function in terms of the Rect function.

 目录:

      1:    狄拉克脉冲函数和

       2:  抽样信号的傅里叶变换

       3:      如何理解狄拉克函数


一   狄拉克脉冲函数和

       p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)

     NR 物理层 卷积|狄拉克函数 2- 狄拉克函数和傅里叶变换_第2张图片 

   我们经常看到的抽样信号,是由一些列的脉冲信号和组成的。

    有时候也称为 Pulse signal,sample signal


二  抽样信号的傅里叶变换

    Fourier Transform of a Sum of Delta Functions

    p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-n T_s)

  其 傅里叶变换是

   F(w)=w_s \sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(w-k w_s)

   w_s =\frac{2\pi}{T_s}

   证明涉及到2个公式: 傅里叶级数公式,狄拉克函数抽样性公式

    证明:

     p(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_ke^{jkw_st}(傅里叶级数展开)

   step1: 求傅里叶系数

     a_k =\frac{1}{T_S}\int_{-\frac{T_s}{2}}^{\frac{T_s}{2}} p(t) e^{-jkw_st}dt

          =\frac{1}{T_S}\int_{-\frac{T_S}{2}}^{​{\frac{T_S}{2}}} \delta(t)e^{0}dt(如下图)

          =\frac{1}{T_S}

   

    p(t)=\frac{1}{T_S}\sum_{k=-\infty}^{\infty}e^{jkw_s t}

   step2  进行傅里叶变换

   F(w)=f(p(t))=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(e^{jkw_st}) ...公式1

   相当于对

  e^{jkw_st}做傅里叶变换

  step3  e^{j k w_st} 求傅里叶变换

   

      设F(w)=2\pi \delta(w-kw_s)

      对其做傅里叶逆变换

   f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_w F(w)e^{jwt}dw

            =\int_w \delta (w-kw_s)e^{jwt} dw

           =e^{jk w_s t}

     所以

      f(e^{jkw_s t})=2\pi \delta(w-k w_s) ...公式2

   step4   公式2 带入公式1

      F(w)=\frac{1}{T_s}\sum_{k}2 \pi \delta (w-kw_s)

                  =w_s \sum_k \delta (w-k w_s)


三  如何理解狄拉克函数

     3.1 rect function

      NR 物理层 卷积|狄拉克函数 2- 狄拉克函数和傅里叶变换_第3张图片

    我们知道一个面积为1 的 rect function (u函数)对应一个sa 抽样函数,

x->0 则\frac{1}{x} 趋近于无穷大,其频域带宽趋近于无穷大

     3.2  狄拉克函数

            其可以认为x->0

            的rect function ,其傅里叶变换如右图

           NR 物理层 卷积|狄拉克函数 2- 狄拉克函数和傅里叶变换_第4张图片

 3.3 抽样的理解 sampling 

NR 物理层 卷积|狄拉克函数 2- 狄拉克函数和傅里叶变换_第5张图片

 

  抽样的就是两个信号相乘,在对应点的面积,讨论狄拉克函数一般都是讨论其面积。

  y(t)=s(t)\delta(t)

          =\frac{1}{x}*2*x

          =2

   则其频谱对应右下角,为幅度为2的直线。

          

你可能感兴趣的:(芯片开发,通讯技术,servlet,java,html)