n个小球放入m个盒子中_n个球放入m个盒子的几种情形讨论

科技教育创新

情形

１

：将

ｎ

个相同的球放到

ｍ

个不同的盒子中

问

:

(1)

每个盒子至少有一球的不同放法

(n

≥

m);

(2)

如果允许有空盒子的不同放法

;

(3)

求此种情形下

(1)

的概率。

ｎ

个球放入

ｍ

个盒子的几种情形讨论

刘冬燕

上海济光职业技术学院 ２０１９０１

Ｔｈｅ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ａｂｏｕｔ ｐｕｔｔｉｎｇ ｎ ｂａｌｌｓ ｉｎｔｏ ｍ ｂｏｘｅｓ

Ｌｉｕ ｄｏｎｇｙａｎ

Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｊｉｇｕａｎｇ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｓｈａｎｇｈａｉ， Ｃｈｉｎａ ２０１９０１

摘  要

ｎ

个球放入

ｍ

个盒子是组合数学以及概率中非常典型的问题。

本

文主要讨论了

ｎ

个球放入

ｍ

个盒子时的几种情形，并对其放法

分别给出了组合公式。由此得到一个组合恒等式。

关键词

不定方程；第二类

Ｓｔｉｒｉｎｇ

数；组合数

中图分类号：

Ｏ１５７

文献标记码：

Ａ

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｐｕｔｔｉｎｇ ｎ ｂａｌｌｓ ｉｎｔｏ ｍ ｂｏｘｅｓ ｉｓ ｖｅｒｙ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｎ ｔｈｅ

Ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｙ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ． Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ

ｓｅｖｅｒａｌ ｃａｓｅｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐｒｏｂｌｅｍ． ａｎｄ ｗｅ ｇｅｔ ａ ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｅｑｕａｌｉｔｙ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ

ｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ； Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｋｉｎｄ ｏｆ Ｓｔｉｒｉｎｇ ｎｕｍｂｅｒ； ｃｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａｌ ｎｕｍｂｅｒ

情形

２

：将

ｎ

个不同的球放到

ｎ

个相同的盒子中

问

：

(1)

每个盒子至少有一球的不同放法

(n

≥

m)

；

(2)

如果允许有空盒子的不同放法；

(3)

求此种情形下

(1)

的概率。

情形

３： 将

ｎ

个不同的球放到

ｍ

个不同的盒子中

问

:

(1)

每个盒子至少有一球的不同放法

(n

≥

m)

；

(2)

如果允许有空盒子的不同放法；

(3)

求此种情形下

(1)

的概率。

解答

(1)

只需要在情形

2

中

(1)

的基础上对盒子进行排列即

可。因此方案数为

m!S[n,m]

(2)

的方案数容易计算是

m

n

。或者也按照情形

(2)

的方法

,

把

n

个不同的球分别放在

1

个，

2

个，

……，

m

个盒子中。

又因为盒

子是不同的，故放到一个盒子时有

C

m

1

S[n,m]

种放法，放到两个

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－８９７２．２０１０．１３．１１２