【Python数据科学快速入门系列 | 04】Numpy四则运算、矩阵运算和广播机制的爱恨情仇

这是机器未来的第43篇文章

原文首发地址：https://blog.csdn.net/RobotFutures/article/details/126493989

1. 概述

本文总结了numpy常见的运算，四则运算与矩阵运算，以及它们的区别。同时描述了在形状不满足要求时，在特定情况下仍然可以运算的广播机制。

2. 四则运算

四则运算即是小学时学过的+、-、*、/，在numpy中ndarray数组对象怎么进行四则运算呢？

四则运算都是对位运算，数学公式如下：

# 生成2个3*3数组
import numpy as np

a = np.random.randint(low=1,high=100,size=(3,3))
b = np.random.randint(low=1,high=100,size=(3,3))
print(f"a:\n{a}, type:{type(a)}")
print(f"b:\n{b}")

a:
[[84 16 27]
 [39 33 87]
 [82 16 37]], type:
b:
[[68 33 96]
 [92 43 69]
 [14  4 88]]

2.1 加法

$$sum=\sum _{i,j}^{M,N}(a_{ij}+b_{ij})$$

# 加法
sum = a + b
print(f"sum:\n{sum}")

sum:
[[128 154 172]
 [ 79 133  16]
 [ 96  39 115]]

2.2 减法

$$diff=\sum _{i,j}^{M,N}(a_{ij}-b_{ij})$$

# 减法
diff = a - b
print(f"diff:\n{diff}")

diff:
[[-30   2 -26]
 [ 13   1  -6]
 [-18  -3  21]]

2.3 乘法

$$product=\sum _{i,j}^{M,N}(a_{ij}\ast b_{ij})$$

# 乘法
product = a * b
print(f"product:\n{product}")

product:
[[3871 5928 7227]
 [1518 4422   55]
 [2223  378 3196]]

2.4 除法

$$quotient=\sum _{i,j}^{M,N}(a_{ij}/b_{ij})$$

# 除法
quotient = a / b
print(f"quotient:\n{quotient}")

quotient:
[[0.62025316 1.02631579 0.73737374]
 [1.39393939 1.01515152 0.45454545]
 [0.68421053 0.85714286 1.44680851]]

3. 矩阵运算

上面描述了ndarray数组对象的四则运算，如何利用numpy进行矩阵运算呢？
矩阵运算基本运算为加、减、乘法及数乘。
矩阵的加法、减法运算和数组的加法、减法运算一样，都是对位运算，数乘运算也比较简单，就是每个元素都乘以数，但是矩阵乘法和数组的乘法差距较大。

假设有两个矩阵, mxn矩阵A和nxs矩阵B, 两个矩阵矩阵相乘后结果为mxs矩阵。

矩阵A的列和矩阵B的行必须相等，才可以进行矩阵运算。

假设矩阵A为4*3的矩阵，矩阵B为3*2的矩阵

矩阵A：
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,0}& a_{2,1}& a_{2,2}\\ a_{3,0}& a_{3,1}& a_{3,2}\end{array}\right]$$

矩阵B：
$$\left[\begin{array}{cc}{b}_{0,0}& b_{0,1}\\ b_{1,0}& b_{1,1}\\ b_{2,0}& b_{2,1}\end{array}\right]$$

矩阵A乘以矩阵B的结果4*2的矩阵：
$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{0,0}\ast b_{0,0}+a_{0,1}\ast b_{1,0}+a_{0,2}\ast b_{2,0}& a_{0,0}\ast b_{0,1}+a_{0,1}\ast b_{1,1}+a_{0,2}\ast b_{2,1}\\ a_{1,0}\ast b_{0,0}+a_{1,1}\ast b_{1,0}+a_{1,2}\ast b_{2,0}& a_{1,0}\ast b_{0,1}+a_{1,1}\ast b_{1,1}+a_{1,2}\ast b_{2,1}\\ a_{2,0}\ast b_{0,0}+a_{2,1}\ast b_{1,0}+a_{2,2}\ast b_{2,0}& a_{2,0}\ast b_{0,1}+a_{2,1}\ast b_{1,1}+a_{2,2}\ast b_{2,1}\\ a_{3,0}\ast b_{0,0}+a_{3,1}\ast b_{1,0}+a_{3,2}\ast b_{2,0}& a_{3,0}\ast b_{0,1}+a_{3,1}\ast b_{1,1}+a_{3,2}\ast b_{2,1}\end{array}\right]$$

矩阵相乘的计算过程为：

矩阵A和第k行和矩阵B的第k列相乘，矩阵A的第k行第i列的元素乘以矩阵B第j列第i行的元素，然后它们的乘积再想加就是结果的第ij元素。
$$C_{i,j}=a_{i,0}\ast b_{0,j}+a_{i,1}\ast b_{1,j}+...+a_{i,n}\ast b_{n,j}=\sum _{k=0}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$

numpy中计算矩阵乘法的方式有4种：

3.1 np.dot函数

arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])
arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])
print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") 
print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")

matrix_c = np.dot(arr_a, arr_b)
print(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")

arr_a:(4, 3),
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]
 [1 2 3]]
arr_b:(3, 2),
[[1 1]
 [2 2]
 [3 3]]
matrix_c:(4, 2),
[[14 14]
 [32 32]
 [50 50]
 [14 14]]

3.2 np.matmul函数

从numpy1.10.0开始支持。

arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])
arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])
print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") 
print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")

matrix_c = np.matmul(arr_a, arr_b)
print(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")

arr_a:(4, 3),
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]
 [1 2 3]]
arr_b:(3, 2),
[[1 1]
 [2 2]
 [3 3]]
matrix_c:(4, 2),
[[14 14]
 [32 32]
 [50 50]
 [14 14]]

3.3 @运算符

arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])
arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])
print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") 
print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")

matrix_c = arr_a @ arr_b
print(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")

arr_a:(4, 3),
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]
 [1 2 3]]
arr_b:(3, 2),
[[1 1]
 [2 2]
 [3 3]]
matrix_c:(4, 2),
[[14 14]
 [32 32]
 [50 50]
 [14 14]]

3.4 转换为矩阵，再运算

利用np.asmatrix方法

arr_a = np.array([[1,2,3],[4, 5, 6], [7, 8, 9], [1, 2, 3]])
arr_b = np.array([[1, 1], [2, 2], [3, 3]])
print(f"arr_a:{arr_a.shape},{type(arr_a)}\n{arr_a}") 
print(f"arr_b:{arr_b.shape},{type(arr_b)}\n{arr_b}")

# np.matrix方法已不推荐使用，将来会移除，asmatrix不会拷贝副本
matrix_c = np.asmatrix(arr_a) * np.asmatrix(arr_b)
print(f"matrix_c:{matrix_c.shape},{type(matrix_c)}\n{matrix_c}")

arr_a:(4, 3),
[[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]
 [1 2 3]]
arr_b:(3, 2),
[[1 1]
 [2 2]
 [3 3]]
matrix_c:(4, 2),
[[14 14]
 [32 32]
 [50 50]
 [14 14]]

4. numpy的广播机制

Numpy的四则运算在计算时必须满足形状一致，而Numpy的广播机制在满足广播条件约束的情况，可以将不同形状的数组扩展成统一的形状，然后再进行运算。

一般广播规则

当对两个数组进行操作时，NumPy 会逐元素比较它们的形状。 它从尾随（即最右边）维度开始，从右向左比较，
(1)维度不相等，两个数组的右侧轴元素个数相符
(2)维度相等，且其中之一的轴的元素个数为1，且其它轴的元素个数相等
(3)维度不相等，两个数组的右侧元素个数不相符，且一侧元素个数为1，则按照两侧元素个数多的为标准进行广播
则满足广播机制。

4.1 举例1

数组a,其形状为4*3，数组b，其形状为3,从尾部开始比较，数组a的形状4*3包含数组b的形状3，因此满足广播机制。

import numpy as np

a = np.array([[ 0.0,  0.0,  0.0],
              [10.0, 10.0, 10.0],
              [20.0, 20.0, 20.0],
              [30.0, 30.0, 30.0]])

b = np.array([1.0, 2.0, 3.0])

c = a + b

print(a.shape, b.shape, c.shape)
print(c)

(4, 3) (3,) (4, 3)
[[ 1.  2.  3.]
 [11. 12. 13.]
 [21. 22. 23.]
 [31. 32. 33.]]

4.2 举例2

数组a,其形状为3*4*2，数组b，其形状为4*2,从尾部开始比较，数组a的形状3*4*2包含数组b的形状4*2，因此满足广播机制。

a = np.random.randint(low=0, high=10, size=(3, 4, 2))
b = np.random.randint(low=0, high=10, size=(4,2))

c = a + b

print(a.shape, b.shape, c.shape)
print(f"a:{a}\nb:{b}\nc:{c}")

(3, 4, 2) (4, 2) (3, 4, 2)
a:[[[6 0]
  [2 3]
  [7 6]
  [9 7]]

 [[3 1]
  [0 5]
  [6 0]
  [1 9]]

 [[7 2]
  [0 3]
  [2 3]
  [0 6]]]
b:[[7 3]
 [0 5]
 [6 7]
 [1 7]]
c:[[[13  3]
  [ 2  8]
  [13 13]
  [10 14]]

 [[10  4]
  [ 0 10]
  [12  7]
  [ 2 16]]

 [[14  5]
  [ 0  8]
  [ 8 10]
  [ 1 13]]]

4.3 举例3

数组a形状为4*3,数组b形状为4*1，数组维度相同，有2个维度，其中一个维度元素个数为1，另外一个维度元素个数相等，满足广播机制

import numpy as np

a = np.array([[0, 0, 0],[1, 1, 1],[2, 2, 2], [3, 3, 3]])  #arr1.shape = (4,3)
b = np.array([[1],[2],[3],[4]])    #arr2.shape = (4, 1)

c = a + b
print(c)

[[1 1 1]
 [3 3 3]
 [5 5 5]
 [7 7 7]]

4.4 举例4

数组a形状为(5, 4, 3),数组b形状为(5, 1, 3)，数组维度相同，有3个维度，其中一个维度元素个数为1，另外2个维度元素个数相等，满足广播机制

a = np.random.randint(low=0, high=10, size=(5, 4, 3))
b = np.random.randint(low=0, high=10, size=(5, 1, 3))

c = a + b

print(a.shape, b.shape, c.shape)
print(f"a:{a}\nb:{b}\nc:{c}")

(5, 4, 3) (5, 1, 3) (5, 4, 3)
a:[[[7 4 5]
  [9 9 1]
  [7 6 8]
  [9 5 7]]

 [[3 0 0]
  [1 2 4]
  [0 1 8]
  [5 2 6]]

 [[9 5 0]
  [5 8 5]
  [7 1 8]
  [9 2 9]]

 [[7 9 0]
  [4 5 3]
  [7 2 7]
  [0 8 9]]

 [[2 4 2]
  [2 3 1]
  [8 3 5]
  [5 7 4]]]
b:[[[2 5 2]]

 [[4 3 3]]

 [[5 3 0]]

 [[0 6 6]]

 [[3 6 8]]]
c:[[[ 9  9  7]
  [11 14  3]
  [ 9 11 10]
  [11 10  9]]

 [[ 7  3  3]
  [ 5  5  7]
  [ 4  4 11]
  [ 9  5  9]]

 [[14  8  0]
  [10 11  5]
  [12  4  8]
  [14  5  9]]

 [[ 7 15  6]
  [ 4 11  9]
  [ 7  8 13]
  [ 0 14 15]]

 [[ 5 10 10]
  [ 5  9  9]
  [11  9 13]
  [ 8 13 12]]]

4.5 举例5

数组a的形状为(3, 1, 2)，数组b的形状为(4, 1)，从右侧向左比较，数组a和数组b的维度不相等，右侧元素个数也不相等，但是两侧都有出现轴的元素个数为1的情况，则轴元素个数为1的维度根据两者的较大值进行广播。

从右向左比较，数据b首先在第2维上广播为(4, 2)，然后数组a在第1维广播为(3, 4, 2)，数组b在第0维广播为(3, 4, 2)

a = np.random.randint(low=0, high=10, size=(3, 1, 2))
b = np.random.randint(low=0, high=10, size=(4, 1))

c = a + b

print(a.shape, b.shape, c.shape)
print(f"a:{a}\nb:{b}\nc:{c}")

(3, 1, 2) (4, 1) (3, 4, 2)
a:[[[7 1]]

 [[8 5]]

 [[4 8]]]
b:[[2]
 [0]
 [7]
 [0]]
c:[[[ 9  3]
  [ 7  1]
  [14  8]
  [ 7  1]]

 [[10  7]
  [ 8  5]
  [15 12]
  [ 8  5]]

 [[ 6 10]
  [ 4  8]
  [11 15]
  [ 4  8]]]

以上就是numpy的四则运算、矩阵运算以及广播机制的作用机制了。

5. 总结

• 数组的四则运算

$$\sum _{i,j}^{M,N}(a_{ij}+|-|\ast |/b_{ij})$$

• 矩阵相乘

$$C_{i,j}=a_{i,0}\ast b_{0,j}+a_{i,1}\ast b_{1,j}+...+a_{i,n}\ast b_{n,j}=\sum _{k=0}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$$

• 广播机制的三种场景

  • 维度不相等，两个数组的右侧轴元素个数相符

  • 维度相等，且其中之一的轴的元素个数为1，且其它轴的元素个数相等

  • 维度不相等，两个数组的右侧元素个数不相符，且一侧元素个数为1，则按照两侧元素个数多的为标准进行广播
    则满足广播机制。

写在末尾：

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• 专栏简介：从0到1掌握数据科学常用库Numpy、Matploblib、Pandas。
• 面向人群：AI初级学习者
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