题目描述
这是 LeetCode 上的 295. 数据流的中位数 ，难度为 困难。
Tag : 「优先队列（堆）」
中位数是有序列表中间的数。如果列表长度是偶数，中位数则是中间两个数的平均值。
例如，
[2,3,4]的中位数是 $3$[2,3]的中位数是 $(2 + 3) / 2 = 2.5$
设计一个支持以下两种操作的数据结构：
void addNum(int num)- 从数据流中添加一个整数到数据结构中。double findMedian()- 返回目前所有元素的中位数。
示例：
addNum(1)
addNum(2)
findMedian() -> 1.5
addNum(3)
findMedian() -> 2进阶:
- 如果数据流中所有整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内，你将如何优化你的算法？
- 如果数据流中
99%的整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内，你将如何优化你的算法？
优先队列（堆）
这是一道经典的数据结构运用题。
具体的，我们可以使用两个优先队列（堆）来维护整个数据流数据，令维护数据流左半边数据的优先队列（堆）为 l，维护数据流右半边数据的优先队列（堆）为 r。
显然，为了可以在 $O(1)$ 的复杂度内取得当前中位数，我们应当令 l 为大根堆，r 为小根堆，并人为固定 l 和 r 之前存在如下的大小关系：
- 当数据流元素数量为偶数：
l和r大小相同，此时动态中位数为两者堆顶元素的平均值； - 当数据流元素数量为奇数：
l比r多一，此时动态中位数为l的堆顶原数。
为了满足上述说的奇偶性堆大小关系，在进行 addNum 时，我们应当分情况处理：
插入前两者大小相同，说明插入前数据流元素个数为偶数，插入后变为奇数。我们期望操作完达到「
l的数量为r多一，同时双堆维持有序」，进一步分情况讨论：- 如果
r为空，说明当前插入的是首个元素，直接添加到l即可； - 如果
r不为空，且num <= r.peek()，说明num的插入位置不会在后半部分（不会在r中），直接加到l即可； - 如果
r不为空，且num > r.peek()，说明num的插入位置在后半部分，此时将r的堆顶元素放到l中，再把num放到r（相当于从r中置换一位出来放到l中）。
- 如果
插入前两者大小不同，说明前数据流元素个数为奇数，插入后变为偶数。我们期望操作完达到「
l和r数量相等，同时双堆维持有序」，进一步分情况讨论（此时l必然比r元素多一）：- 如果
num >= l.peek()，说明num的插入位置不会在前半部分（不会在l中），直接添加到r即可。 - 如果
num < l.peek()，说明num的插入位置在前半部分，此时将l的堆顶元素放到r中，再把num放入l中（相等于从l中替换一位出来当到r中）。
- 如果
代码：
class MedianFinder {
PriorityQueue l = new PriorityQueue<>((a,b)->b-a);
PriorityQueue r = new PriorityQueue<>((a,b)->a-b);
public void addNum(int num) {
int s1 = l.size(), s2 = r.size();
if (s1 == s2) {
if (r.isEmpty() || num <= r.peek()) {
l.add(num);
} else {
l.add(r.poll());
r.add(num);
}
} else {
if (l.peek() <= num) {
r.add(num);
} else {
r.add(l.poll());
l.add(num);
}
}
}
public double findMedian() {
int s1 = l.size(), s2 = r.size();
if (s1 == s2) {
return (l.peek() + r.peek()) / 2.0;
} else {
return l.peek();
}
}
} - 时间复杂度：
addNum函数的复杂度为 $O(\log{n})$；findMedian函数的复杂度为 $O(1)$ - 空间复杂度：$O(n)$
进阶
- 如果数据流中所有整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内，你将如何优化你的算法？
可以使用建立长度为 $101$ 的桶，每个桶分别统计每个数的出现次数，同时记录数据流中总的元素数量，每次查找中位数时，先计算出中位数是第几位，从前往后扫描所有的桶得到答案。
这种做法相比于对顶堆做法，计算量上没有优势，更多的是空间上的优化。
对顶堆解法两个操作中耗时操作复杂度为 $O(\log{n})$，$\log$ 操作常数不会超过 $3$，在极限数据 $10^7$ 情况下计算量仍然低于耗时操作复杂度为 $O(C)$（$C$ 固定为 $101$）桶计数解法。
- 如果数据流中
99%的整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内，你将如何优化你的算法？
和上一问解法类似，对于 $1$% 采用哨兵机制进行解决即可，在常规的最小桶和最大桶两侧分别维护一个有序序列，即建立一个代表负无穷和正无穷的桶。
上述两个进阶问题的代码如下，但注意由于真实样例的数据分布不是进阶所描述的那样（不是绝大多数都在 $[0,100]$ 范围内），所以会 TLE。
代码：
class MedianFinder {
TreeMap head = new TreeMap<>(), tail = new TreeMap<>();
int[] arr = new int[101];
int a, b, c;
public void addNum(int num) {
if (num >= 0 && num <= 100) {
arr[num]++;
b++;
} else if (num < 0) {
head.put(num, head.getOrDefault(num, 0) + 1);
a++;
} else if (num > 100) {
tail.put(num, tail.getOrDefault(num, 0) + 1);
c++;
}
}
public double findMedian() {
int size = a + b + c;
if (size % 2 == 0) return (find(size / 2) + find(size / 2 + 1)) / 2.0;
return find(size / 2 + 1);
}
int find(int n) {
if (n <= a) {
for (int num : head.keySet()) {
n -= head.get(num);
if (n <= 0) return num;
}
} else if (n <= a + b) {
n -= a;
for (int i = 0; i <= 100; i++) {
n -= arr[i];
if (n <= 0) return i;
}
} else {
n -= a + b;
for (int num : tail.keySet()) {
n -= tail.get(num);
if (n <= 0) return num;
}
}
return -1; // never
}
} 最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.295 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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