【面试高频题】难度 3.5/5,可进阶经典面试题(附进阶两问答案)

题目描述

这是 LeetCode 上的 295. 数据流的中位数 ,难度为 困难

Tag : 「优先队列(堆)」

中位数是有序列表中间的数。如果列表长度是偶数,中位数则是中间两个数的平均值。

例如,

  • [2,3,4] 的中位数是 $3$
  • [2,3] 的中位数是 $(2 + 3) / 2 = 2.5$

设计一个支持以下两种操作的数据结构:

  • void addNum(int num) - 从数据流中添加一个整数到数据结构中。
  • double findMedian() - 返回目前所有元素的中位数。

示例:

addNum(1)
addNum(2)
findMedian() -> 1.5
addNum(3) 
findMedian() -> 2

进阶:

  • 如果数据流中所有整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内,你将如何优化你的算法?
  • 如果数据流中 99% 的整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内,你将如何优化你的算法?

优先队列(堆)

这是一道经典的数据结构运用题。

具体的,我们可以使用两个优先队列(堆)来维护整个数据流数据,令维护数据流左半边数据的优先队列(堆)为 l,维护数据流右半边数据的优先队列(堆)为 r

显然,为了可以在 $O(1)$ 的复杂度内取得当前中位数,我们应当令 l 为大根堆,r 为小根堆,并人为固定 lr 之前存在如下的大小关系

  • 当数据流元素数量为偶数:lr 大小相同,此时动态中位数为两者堆顶元素的平均值;
  • 当数据流元素数量为奇数:lr 多一,此时动态中位数为 l 的堆顶原数。

为了满足上述说的奇偶性堆大小关系,在进行 addNum 时,我们应当分情况处理:

  • 插入前两者大小相同,说明插入前数据流元素个数为偶数,插入后变为奇数。我们期望操作完达到「l 的数量为 r 多一,同时双堆维持有序」,进一步分情况讨论:

    • 如果 r 为空,说明当前插入的是首个元素,直接添加到 l 即可;
    • 如果 r 不为空,且 num <= r.peek(),说明 num 的插入位置不会在后半部分(不会在 r 中),直接加到 l 即可;
    • 如果 r 不为空,且 num > r.peek(),说明 num 的插入位置在后半部分,此时将 r 的堆顶元素放到 l 中,再把 num 放到 r(相当于从 r 中置换一位出来放到 l 中)。
  • 插入前两者大小不同,说明前数据流元素个数为奇数,插入后变为偶数。我们期望操作完达到「lr 数量相等,同时双堆维持有序」,进一步分情况讨论(此时 l 必然比 r 元素多一):

    • 如果 num >= l.peek(),说明 num 的插入位置不会在前半部分(不会在 l 中),直接添加到 r 即可。
    • 如果 num < l.peek(),说明 num 的插入位置在前半部分,此时将 l 的堆顶元素放到 r 中,再把 num 放入 l 中(相等于从 l 中替换一位出来当到 r 中)。

代码:

class MedianFinder {
    PriorityQueue l = new PriorityQueue<>((a,b)->b-a);
    PriorityQueue r = new PriorityQueue<>((a,b)->a-b);
    public void addNum(int num) {
        int s1 = l.size(), s2 = r.size();
        if (s1 == s2) {
            if (r.isEmpty() || num <= r.peek()) {
                l.add(num);
            } else {
                l.add(r.poll());
                r.add(num);
            }
        } else {
            if (l.peek() <= num) {
                r.add(num);
            } else {
                r.add(l.poll());
                l.add(num);
            }
        }
    }
    public double findMedian() {
        int s1 = l.size(), s2 = r.size();
        if (s1 == s2) {
            return (l.peek() + r.peek()) / 2.0;
        } else {
            return l.peek();
        }
    }
}
  • 时间复杂度:addNum 函数的复杂度为 $O(\log{n})$;findMedian 函数的复杂度为 $O(1)$
  • 空间复杂度:$O(n)$

进阶

  • 如果数据流中所有整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内,你将如何优化你的算法?

可以使用建立长度为 $101$ 的桶,每个桶分别统计每个数的出现次数,同时记录数据流中总的元素数量,每次查找中位数时,先计算出中位数是第几位,从前往后扫描所有的桶得到答案。

这种做法相比于对顶堆做法,计算量上没有优势,更多的是空间上的优化。

对顶堆解法两个操作中耗时操作复杂度为 $O(\log{n})$,$\log$ 操作常数不会超过 $3$,在极限数据 $10^7$ 情况下计算量仍然低于耗时操作复杂度为 $O(C)$($C$ 固定为 $101$)桶计数解法。

  • 如果数据流中 99% 的整数都在 $0$ 到 $100$ 范围内,你将如何优化你的算法?

和上一问解法类似,对于 $1$% 采用哨兵机制进行解决即可,在常规的最小桶和最大桶两侧分别维护一个有序序列,即建立一个代表负无穷和正无穷的桶。

上述两个进阶问题的代码如下,但注意由于真实样例的数据分布不是进阶所描述的那样(不是绝大多数都在 $[0,100]$ 范围内),所以会 TLE

代码:

class MedianFinder {
    TreeMap head = new TreeMap<>(), tail = new TreeMap<>();
    int[] arr = new int[101];
    int a, b, c;
    public void addNum(int num) {
        if (num >= 0 && num <= 100) {
            arr[num]++;
            b++;
        } else if (num < 0) {
            head.put(num, head.getOrDefault(num, 0) + 1);
            a++;
        } else if (num > 100) {
            tail.put(num, tail.getOrDefault(num, 0) + 1);
            c++;
        }
    }
    public double findMedian() {
        int size = a + b + c;
        if (size % 2 == 0) return (find(size / 2) + find(size / 2 + 1)) / 2.0;
        return find(size / 2 + 1);
    }
    int find(int n) {
        if (n <= a) {
            for (int num : head.keySet()) {
                n -= head.get(num);
                if (n <= 0) return num; 
            }
        } else if (n <= a + b) {
            n -= a;
            for (int i = 0; i <= 100; i++) {
                n -= arr[i];
                if (n <= 0) return i;
            }
        } else {
            n -= a + b;
            for (int num : tail.keySet()) {
                n -= tail.get(num);
                if (n <= 0) return num;
            }
        }
        return -1; // never
    }
}

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.295 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSou...

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