排书 ← IDA*

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/description/182/

【题目描述】
给定 n 本书,编号为 1∼n。
在初始状态下,书是任意排列的。
在每一次操作中,可以抽取其中连续的一段,再把这段插入到其他某个位置。
我们的目标状态是把书按照 1∼n 的顺序依次排列。
求最少需要多少次操作。

【输入格式】
第一行包含整数 T,表示共有 T 组测试数据。
每组数据包含两行,第一行为整数 n,表示书的数量。
第二行为 n 个整数,表示 1∼n 的一种任意排列。
同行数之间用空格隔开。

【输出格式】
每组数据输出一个最少操作次数。
如果最少操作次数大于或等于 5 次,则输出 5 or more。
每个结果占一行。

【输入样例】
3
6
1 3 4 6 2 5
5
5 4 3 2 1
10
6 8 5 3 4 7 2 9 1 10

【输出样例】
2
3
5 or more

【数据范围】
1≤n≤15

【算法分析】
本算法涉及两个重要问题:
一、存取问题
如果一次取出连续的 i 本书,则共有 
n-i+1 种选法。针对剩下的 n-i 本书,一共有 n-i+1 个可供插入的位置。除去这 i 本书原来所在的位置,则还有 n-i 个位置可以插入这 i 本书。故共有 (n-i+1)*(n-i) 种选法。另外,由于“将这 i 本书放到某些书的后面”等价于“将某些书放到这 i 本书前面”,因此最终的选法数为 (n-i+1)*(n-i)/2。由于本题约定 i 可以从 1 取到 15,因此选法共有 (15×14+14×13+....+2×1)/2=680 种。
计算时,可直接代入公式 
n×(n−1)+(n−1)×(n−2)+....+2×1=n×(n+1)×(n+2)/3 求解。
由于每组数据一次操作有 680 种选择,最多操作 4 次,因此最多遍历次数为 680^4=213,813,760,000。显然,若直接暴搜会超时。因此,选择 IDA* 算法来求解。

二、估价函数 h()
由于每次移动一个串,最多改变 3 个元素的后继关系。
针对排好序的串中的元素 i,其正确的后继为 i+1。
假设一共有 tot 个后继不正确,则修复这些后继需要的最少步数为 
⌈tot/3⌉=⌊(tot+2)/3⌋。(C++中的 '/' 是向下取整,方便编程)
因此,当前状态 cur 的估价函数,可以设计成 
h(cur)=⌈tot/3⌉
设搜索深度为
maxd,假设当前在第 cur 层,则当 cur+h(cur)>maxd 时候,就说明不论怎么走,都不可能在 maxd 的限制之内找到目标状态,此时就可以进行“剪枝”操作。

【算法代码一】

#include 
using namespace std;

const int maxn=15;
int id[maxn]; //BookID
int v[5][maxn];
int n;

int h() { //evaluation function
	int res=0;
	for(int i=0; i+1dep) return false; //Pruning operation
	if(check()) return true;

	for(int len=1; len<=n; len++) //Enumerate length
		for(int L=0; L+len-1=5) printf("5 or more\n");
		else printf("%d\n",maxd);
	}

	return 0;
}


/*
in:
3
6
1 3 4 6 2 5
5
5 4 3 2 1
10
6 8 5 3 4 7 2 9 1 10

out:
2
3
5 or more
*/


【算法代码二】

#include 
using namespace std;

const int maxn=15;
int id[maxn]; //BookID
int v[5][maxn];
int n;

int h() { //evaluation function
	int res=0;
	for(int i=0; i+1dep) return false; //Pruning operation
	if(check()) return true;

	for(int len=0; len=5) printf("5 or more\n");
		else printf("%d\n",maxd);
	}

	return 0;
}


/*
in:
3
6
1 3 4 6 2 5
5
5 4 3 2 1
10
6 8 5 3 4 7 2 9 1 10

out:
2
3
5 or more
*/



【参考文献】
https://www.cnblogs.com/NoahBBQ/p/15149295.html
https://www.acwing.com/solution/content/42928/
https://www.cnblogs.com/wk-love-zsy/p/14203172.html
https://blog.csdn.net/qiaodxs/article/details/125352472
https://blog.51cto.com/u_3044148/5101926

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