leetcode-342. 4的幂

1. 问题描述

leetcode 342. 4的幂

2. 几种解法

如果 n 是 4 的幂，那么 n 一定也是 2 的幂。因此我们可以首先判断 n 是否是 2 的幂，在此基础上再判断 n 是否是 4 的幂。判断 n 是否是 2 的幂可以参考。由于这一步的方法有很多种，在下面的题解中，我们使用 n & (n - 1) 这一方法进行判断。

1. 二进制表示中1的位置

• 算法思路：如果 n 是 4 的幂，那么 n 的二进制表示中有且仅有一个 1，并且这个 1 出现在从低位开始的第偶数个二进制位上（这是因为4的幂一定是2的偶数次幂）。这里我们规定最低位为第0位，例如 n=16时，n 的二进制表示为$(10000{)}_2$，唯一的 1 出现在第 4 个二进制位上，因此 n 是 4 的幂。
  由于题目保证了 n 是一个 32 位的有符号整数，因此我们可以构造一个整数 mask，它的所有偶数二进制位都是 0，所有奇数二进制位都是 1。这样一来，我们将 n 和 mask 进行按位与运算，如果结果为 0，说明 n 二进制表示中的 1 出现在偶数的位置，否则说明其出现在奇数的位置。根据上面的思路，mask 的二进制表示为：$\text{mask}=(10101010101010101010101010101010{)}_2$
  我们也可以将其表示成 16 进制的形式，使其更加美观：$\text{mask}=(\text{AAAAAAAA}{)}_{16}$
• 代码实现

  bool isPowerOfFour(int n){
  	if(n < 1)
  		return false;
  	return (n & (n - 1)) == 0 && (n & 0xaaaaaaaa) == 0;
  }
  

2. 取模性质

• 算法思路：如果 n 是 4 的幂，那么它可以表示成 $4^x$ 的形式，我们可以发现它除以 3 的余数一定为 1，即：$4^x\equiv (3+1{)}^x\equiv 1^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$
  如果 n 是 2 的幂却不是 4 的幂，那么它可以表示成 $4^x\times 2$的形式，此时它除以 3 的余数一定为 2。因此我们可以通过 n 除以 3 的余数是否为 1 来判断 n 是否是 4 的幂。
• 代码实现

  bool isPowerOfFour(int n) {
  	return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0 && n % 3 == 1;
  }