SWUST OJ#541 排列的字典序问题
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题目
思路
引入
本题思路
解决第一小问：求解字典序值
解决第二小问：求解字典序下一个排列
代码
题目
题目描述
n个元素{1,2,..., n }有n!个不同的排列。将这n!个排列按字典序排列，并编号为0，1，…，n!-1。每个排列的编号为其字典序值。例如，当n=3时，6 个不同排列的字典序值如下：
0 1 2 3 4 5
123 132 213 231 312 321
任务：给定n 以及n 个元素{1,2,..., n }的一个排列，计算出这个排列的字典序值，以及按字典序排列的下一个排列。
输入
第1 行是元素个数n(n < 15)。接下来的1 行是n个元素{1,2,..., n }的一个排列。
输出
第一行是字典序值，第2行是按字典序排列的下一个排列。
样例输入
8 2 6 4 5 8 1 7 3样例输出
8227 2 6 4 5 8 3 1 7
思路
引入
先来一个例子引入：这里有几个数，要求我们找出有多少个逆序对（前者大于后者）。
5 3 7 4 9 6
不难发现，逆序对有：2+0+2+0+1+0=5个
现在我们把所有数都减去2
3 1 5 2 7 4
可以发现逆序对数还是和刚才一样。
那是因为两个数，虽然值变小了，但是相对大小却是没变的。同理，如果我们让倒数第二个数"7" 再减去1。
3 1 5 2 6 4
同样的，在这种情况下逆序对数还是5，因为相对大小还是没有发生变化。
所以，我们就把这样的算法称为向内离散化，当然还有以扩大的方式：向外离散化。
离散化例题：洛谷P1496 火烧赤壁
本题思路
解决第一小问：求解字典序值
解决本题的思路就是采用离散化算法，我们不关注具体大小，只关注相对关系。
题目有8位数，然而8227也不是一眼就能推出来的，我们还是从2位，3位，4位层层往后推理。
先对每一位的数，以首数字为基准进行分类。
按照上图的分类，如果说我们知道第一个数是多少，那么我们很容易知道它是哪一个梯度的。
例如：3 4 1 2
我们很容易知道3 4 1 2是第三梯度，也就是说在第12~18之间（注意，区间都是前开后闭）
那么接下来第一个3就不用再看了，因为我们已经知道，它是属于第三梯度。
剩下的就是 4 1 2 。然后现在我们离散化处理一下，4 1 2实际上等价于3 1 2
在三位数中，我们很容易发现，它是处于第三梯度的，也就是4~6之间，和之前的相加起来，因此 3 4 1 2就存在于16~18之间。
再把第二个数抛掉，剩下的是1 2。很显然是第一梯度，所以定位：2*6+2*2+1*1 也就是第17位。
同理，再举一个例子：2 3 4 1
第一步：首数字为2，那么属于第二梯度，也就是6~12之间。
第二步：离散化后三个数为：2 3 1。首数字为2，那么属于第二梯度 也就是2~4之间。加起来也就是8~10之间。
第三步：离散化剩下两个为：2 1。首数字为2，那么也还是属于第二梯度。所以可得知为第10位。
那么题目中8位数的例子：2 6 4 5 8 1 7 3
首先第一步：首数字为2，那么属于第二梯度，也就是5040~10080之间（8位数，那么就是7的阶乘：1*7！~ 2*7！）
第二步：离散化处理剩下的为：5 3 4 7 1 6 2 。首数字为5，那么属于第五梯度，所以就是2880~3600之间（7位数，那么就说6的阶乘：4*6！~ 5*6！）加起来就是7920~8640之间。
第三步同理，处理剩下的为：3 4 6 1 5 2。首数字为3，那么属于第三梯度，所以就是240~360之间（6位数，那么就是5的阶乘：2*5！~ 3*5！）加起来就是8160~8280之间。
第四步还是一样，处理剩下的为：3 5 1 4 2。首数字为3，那么属于第三梯度，所以就是48~72之间（5位数，那么就是4的阶乘：2*4！~ 3*4！）加起来就是8208~8232之间。
第五步还是一样，处理剩下的为： 4 1 3 2。首数字为4，那么属于第四梯度，所以就是18~24之间（4位数，那么就是3的阶乘：3*3！~ 4*3！）加起来就是8226~8232之间。
第六步还是一样，处理剩下的为：1 3 2。首数字为1，那么属于第一梯度，所以就是0~2之间（3位数，那么就是2的阶乘：0*2！~ 1*2！）加起来就是8226~8228之间。
最后一步：最后两位离散化为：2 1，首数字为2，那么属于第二梯度，所以可以定位该数为第8228位。
这里注意一下，题目是从0开始的，所以要减去1，也就是第8227，那么第一问就解决了
综上所述
这问的核心思想就是离散化数组，找出首数字，一步步的缩小范围，最后定位得出。
那么代码思路（伪）就是：
ll sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
sum+=a[i]* ((n-i)！)
} //a[i]代表离散化首数字,！代表阶乘阶乘我们可以新建一个数组b，前缀积预处理一下，不至于每次都调用函数。
int b[20]={1,1};
for(int i=2;i<=20;i++) b[i]=b[i-1]*i;那么现在的问题就是离散化首数了，如果说，每次都现用现离散的话，大致估一下复杂度则会是O(n²），因为要循环判断，合起来计算最初的循环，那么就是O(n³），这样时间复杂度太高了。
所以，我们为啥不先预处理，先就离散了，再来进行计算，求是第几个数。
我们把刚刚每次离散化下来的首数整理一下为：2 5 3 3 4 1 2 1
再对比下原数组 ：2 6 4 5 8 1 7 3
可以发现离散化的数组实际上就是：该数减去 前面 比他小的数的个数。例如：第5个数"8"，前面4个都比他小，所以离散化下来就是4
这么一来，离散预处理就可以降低到O(n²）的复杂度了：
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;ja[j]) a[i]--;
}
} 解决第二小问：求解字典序下一个排列
根据之前离散化的逻辑，我们每次根据首数字找梯度，并对下一组离散化，那么无论如何，最后一个数都是可以离散化成1的，也就是说，最后一个数永远都是第一梯度。
那万一是2呢？是第二梯度呢？
那就定位结果加2呗。
由此可见我们在最后一个离散化数加上1，也就自然而然的变成了下一个数了。
a[n]++;这时候离散化数组变成：2 5 3 3 4 1 2 2
很显然，这是一个"虚假"的离散化数组。
我们还是以4位数举例：
易求得 3 1 4 2的离散化数组为：3 1 2 1
而3 1 4 2下一位是 3 2 1 4
易求得 3 2 1 4 的离散化数组为：3 2 1 1
可是，按照上述逻辑3 1 2 1的下一位离散数组也可以是3 1 2 2
之前离散化数组的求法是看前面比他小的数有多少个，那么由此可以得知在4位数的情况下，离散化每个位置最大的数为4 3 2 1依次递减。
同理，n位数每个位置最大则为：n n-1 n-2 ... ... 3 2 1
很显然这个"虚假"的数组 3 1 2 2 违背了这个规定。
所以，我们要对这个"虚假"的离散化数组进行还原。
还原方式很简单，就像上述规则一样，超过了就前一位加一，该位回归最初。
因此我们是可以推出：3 1 2 2 等价于 3 1 3 1 等价于 3 2 1 1
for(int i=n;i>=1;i--) {
if(a[i]>n-i+1) {
a[i-1]++;
a[i]=1;
}
}最后再将还原的离散化数组，再次还原为排列的数组。
根据之前离散化预处理代码，逆向操作就行了，看前面有多少数比他大，然后加回来。
for(int i=n;i>=2;i--) {
for(int j=i-1;j>=1;j--) {
if(a[i]>=a[j]) a[i]++;
}
}代码
根据上述思路，即可写出完整代码。
#include
#include
#include
#include
#define endl '\n'
#define N 5000005
typedef long long ll;
using namespace std;
ll a[20],b[20];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
int n;cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
//第一问
//离散化首数
for(int i=2;i<=n;i++) {
for(int j=1;ja[j]) a[i]--;
}
}
//预处理阶乘
b[0]=b[1]=1;
for(int i=2;i<=20;i++) b[i]=b[i-1]*i;
//计算
ll sum=0; //防位数过多爆范围,虽然题目最大15,15倒不会爆
for(int i=1;i<=n;i++) {
sum+=(a[i]-1)*b[n-i];
}
cout<=2;i--) {
if(a[i]>n-i+1) {
a[i-1]++;
a[i]=1;
}
}
//还原离散化
for(int i=n;i>=2;i--) {
for(int j=i-1;j>=1;j--) {
if(a[i]>=a[j]) a[i]++;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) cout<