题目描述
这是 LeetCode 上的 850. 矩形面积 II ，难度为 困难。
Tag : 「扫描线」
我们给出了一个（轴对齐的）二维矩形列表 rectangles。 对于 $rectangle[i] = [x_1, y_1, x_2, y_2]$，其中$(x_1, y_1)$ 是矩形 i 左下角的坐标，$ (x_{i1}, y_{i1})$ 是该矩形 左下角 的坐标，$ (x_{i2}, y_{i2})$ 是该矩形 右上角 的坐标。
计算平面中所有 rectangles 所覆盖的 总面积 。任何被两个或多个矩形覆盖的区域应只计算 一次 。
返回 总面积 。因为答案可能太大，返回 $10^9 + 7$ 的 模 。
示例 1：
输入：rectangles = [[0,0,2,2],[1,0,2,3],[1,0,3,1]]
输出：6
解释：如图所示，三个矩形覆盖了总面积为6的区域。
从(1,1)到(2,2)，绿色矩形和红色矩形重叠。
从(1,0)到(2,3)，三个矩形都重叠。示例 2：
输入：rectangles = [[0,0,1000000000,1000000000]]
输出：49
解释：答案是 1018 对 (109 + 7) 取模的结果， 即 49 。提示：
- $1 <= rectangles.length <= 200$
- $rectanges[i].length = 4$
- $0 <= x_{i1}, y_{i1}, x_{i2}, y_{i2} <= 10^9$
- 矩形叠加覆盖后的总面积不会超越 $2^{63} - 1$ ，这意味着可以用一个
64位有符号整数来保存面积结果。
扫描线
这是一道「扫描线」模板题。
将所有给定的矩形的左右边对应的 x 端点提取出来并排序，每个端点可看作是一条竖直的线段（红色），问题转换为求解「由多条竖直线段分割开」的多个矩形的面积总和（黄色）：
相邻线段之间的宽度为单个矩形的「宽度」（通过 x 差值直接算得），问题转换为求该区间内高度的并集（即矩形的高度）。
由于数据范围只有 $200$，我们可以对给定的所有矩形进行遍历，统计所有对该矩形有贡献的 y 值线段（即有哪些 rs[i] 落在该矩形中），再对线段进行求交集（总长度），即可计算出该矩形的「高度」，从而计算出来该矩形的面积。
Java 代码：
class Solution {
int MOD = (int)1e9+7;
public int rectangleArea(int[][] rs) {
List list = new ArrayList<>();
for (int[] info : rs) {
list.add(info[0]); list.add(info[2]);
}
Collections.sort(list);
long ans = 0;
for (int i = 1; i < list.size(); i++) {
int a = list.get(i - 1), b = list.get(i), len = b - a;
if (len == 0) continue;
List lines = new ArrayList<>();
for (int[] info : rs) {
if (info[0] <= a && b <= info[2]) lines.add(new int[]{info[1], info[3]});
}
Collections.sort(lines, (l1, l2)->{
return l1[0] != l2[0] ? l1[0] - l2[0] : l1[1] - l2[1];
});
long tot = 0, l = -1, r = -1;
for (int[] cur : lines) {
if (cur[0] > r) {
tot += r - l;
l = cur[0]; r = cur[1];
} else if (cur[1] > r) {
r = cur[1];
}
}
tot += r - l;
ans += tot * len;
ans %= MOD;
}
return (int) ans;
}
} TypeScript 代码：
const MOD = BigInt(1e9+7)
function rectangleArea(rs: number[][]): number {
const list = new Array()
for (let info of rs) {
list.push(info[0]); list.push(info[2]);
}
list.sort((a,b)=>a-b)
let ans = 0n
for (let i = 1; i < list.length; i++) {
const a = list[i - 1], b = list[i], len = b - a
if (len == 0) continue
const lines = new Array()
for (let info of rs) {
if (info[0] <= a && b <= info[2]) lines.push([info[1], info[3]])
}
lines.sort((l1,l2)=>{
return l1[0] != l2[0] ? l1[0] - l2[0] : l1[1] - l2[1]
})
let tot = 0n, l = -1, r = -1
for (let cur of lines) {
if (cur[0] > r) {
tot += BigInt(r - l)
l = cur[0]; r = cur[1]
} else if (cur[1] > r) {
r = cur[1]
}
}
tot += BigInt(r - l)
ans += tot * BigInt(len)
ans %= MOD
}
return Number(ans)
}; Python 代码：
class Solution:
def rectangleArea(self, rs: List[List[int]]) -> int:
ps = []
for info in rs:
ps.append(info[0])
ps.append(info[2])
ps.sort()
ans = 0
for i in range(1, len(ps)):
a, b = ps[i - 1], ps[i]
width = b - a
if width == 0:
continue
lines = [(info[1], info[3]) for info in rs if info[0] <= a and b <= info[2]]
lines.sort()
height, l, r = 0, -1, -1
for cur in lines:
if cur[0] > r:
height += r - l
l, r = cur
elif cur[1] > r:
r = cur[1]
height += r - l
ans += height * width
return ans % 1000000007Go 代码：
const MOD = int64(1e9 + 7)
func rectangleArea(rectangles [][]int) int {
list := []int{}
for _, info := range rectangles {
list = append(list, info[0])
list = append(list, info[2])
}
sort.Ints(list)
ans := int64(0)
for i := 1; i < len(list); i++ {
a, b, length := list[i - 1], list[i], list[i] - list[i - 1]
if length == 0 {
continue
}
lines := [][]int{}
for _, info := range rectangles {
if info[0] <= a && b <= info[2] {
lines = append(lines, []int{info[1], info[3]})
}
}
sort.Slice(lines, func(i,j int) bool {
if lines[i][0] != lines[j][0] {
return lines[i][0] - lines[j][0] < 0
}
return lines[i][1] - lines[j][1] < 0
})
total, l, r := int64(0), -1, -1
for _, cur := range lines {
if cur[0] > r {
total += int64(r - l)
l, r = cur[0], cur[1]
} else if cur[1] > r {
r = cur[1]
}
}
total += int64(r - l)
ans += total * int64(length)
ans %= MOD
}
return int(ans)
}- 时间复杂度：预处理所有扫描线的复杂度为 $O(n\log{n})$；处理所有相邻的扫描线，并计算相邻扫描线形成的矩形面积复杂度为 $O(n\log{n})$ 。整体复杂度为 $O(n^2\log{n})$
- 空间复杂度：$O(n)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.850 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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