图及其应用

1.图的概念

（1）简单图：无重复边且没有顶点到自身的边（数据结构都是简单图）
（2）度：无向图为依附该点的边数，有向图为出度和入度的和
（3）简单路径：中间顶点不重复的路径
（4）对于无向图，为连通和连通图；对于有向图，为强连通和强连通图
（5）对于n个顶点的图：为无向图，为连通则最少n-1条边，不为连通最多Cn-1(2)条边

                为有向图，为强连通，则最少n条边

（6）极大连通子图：（1）为无向图中，子图必须连通且包含尽可能多的点和边

             （2）为有向图中，子图必须强连通且包含尽可能多的点和边

（7）连通分量和强连通分量：无向图的极大连通子图和有向图的极大连通子图
（8）无向连通图的生成树：为包含所有点的极小连通子图（即包含所有点且边尽可能少）（n个点则有n-1条边）
（9）无向/有向完全图：任意两个点有边/任意两个点存在方向相反的两条弧

2.图的存储

（1）邻接矩阵法：
无向图：第i个节点的度：某行（列）的非零元素的个数
有向图：第i节点的出度：第i行的非零元素的个数
求度，出度，入度的时间复杂度：O(v) 时间复杂度：O(v*2)
适合存储稠密图

性质：

(2)邻接表法

性质：邻居表法表示不唯一，但矩阵是唯一的，适合存储稀疏图

（3）十字链表法（只存储有向图）

（4）邻接多重表

总结：

3.图的应用

（1）最小生成树：带权连通图的权值之和最小的生成树

Prim算法：不停的加顶点（O(v平方),适合边稠图）
Krusal算法：不停选最小的边，使边两边的点连通（O(elog2e),适合边疏图）

（2）最短路径

（3）有向无环图

（4）拓扑排序

性质:(1)拓扑和逆拓扑可能不唯一

 （2）拓扑和逆拓扑内不能有环

（5）关键路径（性质，方法可突击）