TOPSIS（优劣解距离法）

TOPSIS法是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

步骤如下：

1. 先将原始数据矩阵统一指标类型得到正向化的矩阵
2. 对正向化的矩阵进行标准化处理以消除各指标量纲的影响
3. 找到有限方案中的最优解和最劣解，分别计算各评价对象与最优解和最劣解间的距离，获得各评价对象与最优解的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据

第一步：将原始矩阵正向化

最常见的四种指标

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。

1.极小型指标 极大型指标

极小型指标转换为极大型指标的公式： max-x

如果所有的元素均为正数，那么也可以使用   

代码如下：

clc,clear
disp("请输入需要正向化的矩阵A")
A=input("A=")
judge=0;
[m,n]=size(A)
for i=1:m
    if(A(i)<=0)
        judge=1
    end
end
if judge==0
    B=A.^(-1)
    disp("正向化后的矩阵为B:")
    disp(B);
elseif judge==1
    disp("无法用倒数形式进行正向化，改为用max-a形式")
    B=repmat(max(A),1)-A;
    disp("正向化后的矩阵为B:")
    disp(B);
end

2.中间型指标 极大型指标

 是一组中间型指标序列，且最佳的数值为，那么正向化的公式如下：

绝对值：\lvert 和 \rvert

clc,clear
disp("请输入需要正向化的矩阵A=")
A=input("A=");
[m,n]=size(A);
disp("请输入中间值A_best=")
A_best=input("A_best=");
M=0;
for i=1:m
    if(abs(A(i)-A_best)>M)
        M=abs(A(i)-A_best);
    end
end
for i=1:m
    B(i)=1-abs(A(i)-A_best)/M;
end
disp("正向化后的矩阵B=")
disp(B)

3.区间型指标 极大型指标

 是一组区间型指标序列，且最佳的区间为 ，那么正向化的公式如下：

clc,clear
disp("请输入需要正向化的矩阵A=")
A=input("A=");
[m,n]=size(A);
A_min=min(A);
A_max=max(A);
disp("请输入最佳区间[a,b]=")
x=input('最佳区间(exp:[36,37])','s');
ins=str2num(x);
a=ins(1);
b=ins(2);
if((a-A_min)>(A_max-b))
    M=a-A_min;
else
    M=A_max-b;
end
for i=1:m
    if A(i)第二步：正向化矩阵标准化 
   
假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化了）构成的正向化矩阵如下：
 
   
 
   
那么，对其标准化的矩阵记为Z，Z中的每一个元素为X中每一个元素除以其所在列元素平方和的平方根。
 
   
 
   
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化后的矩阵 Z = ')
disp(Z)
 
   
 第三步：计算得分并归一化
 
   
 
   
定义最大值 
 
   
                           
 
   
定义最小值 
 
   
                           
 
   
定义第i个评价对象与最大值的距离
 
   
 
   
定义第i个评价对象与最小值的距离
 
   
 
   
那么，我们可以计算得出第i个评价对象未归一化的得分
 
   
 
   
很明显 ， 且  越大  越小，即越接近最大值
 
   
我们可以将得分归一化： ，这样的话 
 
   
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ]).^ 0.5  % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ]).^ 0.5  % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)     % 归一化的得分
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')
 
   
 
   
拓展：对m个评价指标赋予权重（层次分析法）
 
   
 定义第i个评价对象与最大值的距离
 
   
 
   
定义第i个评价对象与最小值的距离
 
   
 
   
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')