高数笔记基础篇（更完）

第一章 函数 极限 连续

函数

取整函数

复合函数y=fg(x)
条件是g的值域∩f的定义域≠空集

反函数存在的充要条件：y有且仅有一个对应的x，如y=x²就没有反函数
函数fx ：x映射到y
反函数f^-1x ： 从y映射到x

求y=shx的反函数，解法：将e^x视作整体，分子分母同乘e^x

• 初等函数

arctanx

arcsinx

arccosx

• 奇偶性
  
  
  奇 + 奇 = 奇
  偶 + 偶 = 偶
  奇 * 奇 = 偶
  奇 * 偶= 奇

• 周期性
  
  sinⁿ(x)，n为偶数周期为派，n为奇数周期为2派
  如：sin²x周期为派，∫0到派 sin²x dx，区间可以换成0到派/2
  sin³x、sin⁵x周期都为2派
  f(x)周期为T，f(ax+b)周期为T/|a|

• 有界性
  
  注意无界函数的定义的有界函数的补集，所以一个函数不是有界函数就是无界函数
  注意这里有界是有上下界的，-M<=f(x)<=M
  

极限

数列极限

xn看作一个是值，落在x轴上的值，同时也是数列中的一个值

数列极限存在，部分列极限也存在
注意：所有部分列能还原成原数列，且所有部分列极限存在且相等才能反推原数列极限

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∞在函数和数列中定义是不一样的，数列中无穷默认为+无穷

在函数中：
x -> ∞，要判断两个极限，一个是x趋向+∞，一个是x趋向-∞，左右有别

左右有别的常见考题，x->0，在x=0处出考点

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极限性质

有界性

反之不成立，如sin(1/x)，在x->0处极限不存在

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保号性，注意等号，

lim^x->x0 f(x)=A存在，则有：
若A大于0，则在去心邻域中fx>0
若在去心邻域fx>0，则A大于等于0，（如fx=x²，在x=0处，去心邻域fx>0，但是A=0）

极限与无穷小关系

夹逼准则

夹逼准则常用在求极限，
那么如何判断这个极限能用夹逼来做？

取整函数

n的阶乘远大于2ⁿ，所以等0

这题提一个3出去

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单调有界准则

要用这个定理先要证明有界

无穷小比较
高阶、低阶、同阶、等价，k阶无穷小

无穷小性质

注意有限个

无穷大量

洛必达常用，直接看最高阶的项即可

无穷大量性质

两个无穷大量之和可能为0， n + (-n) = 0

数列的无界变量

数列无穷大量举例

无界变量举例

注意 无穷小可能=0，就不能做分母，
如：fx=0,limx->0 f(x) = 0, 1/fx不存在

求极限

常用的基本极限

只用判断最高次项

注意lim a(x)=0，lim b(x)=∞的条件，不是任何条件都可以乱用的！
结论的推导还是用的幂指函数求极限的方法，保守点就用幂指函数求极限

4个讨论点

3个讨论点

例题：

这里用的是

常见等价无穷小 要背 mark

代换原则

相减代换等价无穷小，要求a和b不等价即可，如：sinx - x 不能代换，2sinx - x ~ x可以代换
相加可以看作a - (-b)的形式，这两条是等价的，sinx + (-x) 就不能代换


补充：1-cos^ax ~ (a/2)x²

注意：等价无穷小做初等公式变换，如(x-sinx)^1/2，(1-cosx)³，这些把原来的等价无穷小看作因子，相乘就是幂次形式，所以不要被吓到

这里的等价无穷小可以推泰勒展开，如 1-cosx ~ 1/2x^2就可以推 cosx的泰勒展开，ln(1+x)，(1+x)^a的泰勒也可以推了，在稍微记一下通项就基本记住了

有理运算法则

有两个极限存在就能推第三个极限一定存在，注意下面可以拆分的条件是极限A和极限B存在

注意：

有三种组合
【存在 ±*/ 存在 】，这个一定存在
【不存在 ±*/ 不存在】，都不一定
【存在 ±*/ 不存在】，只有存在±不存在=不存在

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lim ∞ * x = 常数 可推 lim x一定为0

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洛必达，注意洛必达是否可以用，得先求才能知晓（结果是存在或者∞才能用）

七种类型的极限都可以用洛必达法则

∞-∞可以通分用洛必达，也可以直接用泰勒展开

0±0和∞±∞常用泰勒展开,展开原则，展开到x的最高阶

注意化简

如果含有极限非0因子，先求出来，以化简

注意使用等价无穷小只能在乘法因子中使用

如果f(x)一阶可导，没有说连续，那么不能用洛必达法则！
如果f(x)二阶可导，没有说连续，只能洛到一阶。
这种题型使用导数定义做：

常见泰勒公式

tanx用tanx - x ~ 1/3x^3推，1±x的泰勒可用ln(1+x)的泰勒求导得到，arcsinx和arccosx只是sinx和cosx变下号，
补充 (1+x)^a = 1+ax + a(a-1)x² / 2! + …

皮亚诺泰勒公式

特别地，在x=0时

0±0/0
∞-∞/∞
分子就可以用泰勒，一桶刨沙
注意！！！ 分子不能用等价无穷小，因为不是乘除法的因子，这里是±
（等价无穷小使用条件是，等价无穷小代换后相减或者相加后不等于0）

夹逼原理求极限

这题其实将3提出来做更简单

重要结论：

单调有界求极限

题型：数列推导求极限题
先要用单调有界准则证明极限存在（首先说明单调增并且有上界=>极限存在），然后才能设limXn=limXn+1=a求极限

单调有界准则 常用不等式证明有界，
这里用的2ab小于等于a² +b²

补充均值不等式：算数平均和几何平均比较常见

函数的连续性

左右极限等于函数值：lim f-x = lim f+x = fx

区间连续

间断点

第一类间断点

第二类间断点

间断点题型：找有几个间断点，讨论间断点

如何找间断点？找不存在的值处

这个fx函数可以拆成3个因子，每个因子分别找无定义的点处，x=0,x=1处，直接求极限，但是出现e^x,arctanx,分段函数,|f(x)±a| 时得分左右极限来求

那这个fx可以拆成4个因子，依次判断无定义的点即可，核心还是求极限

讨论间断点题型：

这一题做了一点变化，这里首先是得求出fx，而求出fx又要x分类讨论
这里考点是4个讨论区间

在讨论x=1处和x=-1处，判断是否间断？判断是跳跃间断还是可去间断？

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考点2：关于连续性运算和性质，连续函数的性质的证明题

首先是连续函数的最值定理，存在最大最小值
其次用到了介值定理的推论，f(ξ)应该想到：m<=f(ξ)<=M，所以把证明改写，将p+q移过去，单独把f(ξ)表达出来。

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介值定理

第二章 导数与微分

导数的概念

求导，其实就是特殊的极限，因此一阶导可以看作是fx的特殊极限（Δx->0），二阶导可以看作是一阶导的特殊极限。

两种写法，这两种写法分母都是分子的自变量相减

题型：判断导数存在性

这类题有三种方法：
1）左右有别，分别用定义去计算导数，最普遍的方法


2）等号这边的函数，可以用其导函数来求导
如：

那么f’+则需要用到定义去求

3）导数存在的必要条件：此点连续。如果此点不连续那么导数不存在

什么叫连续？连续是指函数在此处极限存在且与函数值相等
什么叫可导？直观来讲，可导就是在这点的上的切线有一定的方向；可导可以看作是fx空心邻域与此处fx值的关系，有空心邻域fx必要条件就是此处连续

从直观上看，
若不连续，导致这点上的导数的切线缺失了方向（变化率不存在，或者说是切线变化不光滑），导数不存在。
更何况连续都不一定可导，譬如fx=|x|

微分的概念

导数是函数某点的变化率，微分是函数的改变量

通俗的说微分是函数上的一小段（用kx拟合）在y轴的映射

dy是Δy的线性主部(近似的主要部分)，将Δy的高阶无穷小忽略了

dy=f’x · Δx （1988年考过这个定义，判断dy和Δx同阶，dy/Δx=f’x）

考的定义，dy除以Δx=f’x

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可微的（充分）必要条件是可导，就是可微和可导等价，

很少考可微性的判定，因为可微判断可导即可（一元中可微和可导等价），不会用定义去做，而可导需要用到定义去判断。

出题习惯：
一元考导数，多元考微分

导数与微分的几何意义

切线方程

法线方程

微分是函数上的一小段（用kx拟合，简单讲就是切线代替曲线，dy是切线拟合，Δy就是原本的曲线）在y轴的映射

连续可导可微之间的关系

一元中：

可导和可微等价

可导必连续

连续不一定可导（y=|x|,x=0处)

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证明：可导 => 连续

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可导 => 连续的正确理解，可导和一阶导连续、一阶导极限是否存在无关

反例：


所以，在fx二阶可导的时候，洛必达不能乱用，fx二阶可导且连续才能求到二阶，（注意：二阶可导说明f’x连续；而fx可导是一阶可导，说明的是fx连续）

=>二阶可导，lim f’’(x)不一定存在，更不一定连续，洛必达只能用到一阶，后面请使用导数定义

=> n阶可导，n-1阶导函数连续

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证明：可导 => 可微

导数公式及求导法则（背

sec = 1/cos
csc = 1/sin
cot = 1/tan = cosx / sinx

链式求导法


例7做结论：fx为偶函数，f^(2n-1)x为奇函数(f’x, f’³x, f⁵x… )

隐函数求导

反函数的导数


y=arcsinx
x=siny

y’ = 1/x’ = 1/cosy

参数方程求导

对数求导法

但是这个幂指数改写成e^xln(1+sinx)会好做一些

这题就很适合用对数求导，因为对数可以把乘法化成加法

高阶导数

n阶导数存在 => n-1阶导数存在

常用高阶导数

1)式拓展

相关变化率

这题我们已知x对时间的变化率，求另外一个变量l对时间变化率，这种题型叫相关变化率

x和l是两个相关的量，

首先建立起这两个相关量的关系

题目要求我们l对t求导

使用公式求解：dl/dt = dl/dx * dx/dt

第三章 微分中值定理及导数应用

考题：求极限、极值最值、凹向拐点、渐近线、方程的根、不等式证明、微分中值定理证明

微分中值定理

定理略 P39

什么时候用微分中值定理

题目告诉我们导数的条件，让我们研究函数
或者给的是函数条件，研究导数

泰勒公式
本质是建立fx和高阶导数之间关系
用多项式逼近一般函数fx

导数应用

函数的单调性
函数的极值
极值的必要条件，导数=0
导数=0的点称为驻点，驻点包含极值点(错)，极值点（y=|x|）不一定是驻点
如果fx可导的条件下，才极值点=>驻点，驻点包含极值点
因此：极值点 => {f’x=0或者f’x不存在}

极值的第一充分条件

细节，可以用在导数=0处，也可以用在导数不存在的点处只要fx连续

极值的第二充分条件

连续函数在区间的最值
最值要么在内部的极值处，要么在端点处（极值是一个领域，所以极值不能在端点取到，但这里是最值）

解题：

凹凸性


拐点
拐点是曲线上的点，用(x0,y0)表示

渐近线
水平，x趋向±∞，arctanx

垂直，如tanx，分母等于0的点就是可疑的点

斜，±∞的一侧出现斜渐近线
首先求 lim fx/x = a， 再求 lim fx - ax = b

作图
1/定义域
2/一阶导数
3/二阶导数
4/渐近线

曲率

常见考题

求函数极值

f’x=0或者f’x不存在
左右两侧异号
函数连续+保号性

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求拐点：
y’‘x=0
y’'左右两侧异号，图像上看一边是凹一边是凸

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渐近线

水平：看x趋向∞，fx=常数

垂直：fx=∞

斜渐线：
x->∞，
y/x = a， y-ax=b
fx能够写成ax+b+a(x)的形式

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方程的根
1）零点定理，区间连续，fx异号 = > 至少存在一个根

2）构造辅助函数使用罗尔定理，F’x = fx，区间连续，端点相等 => 存在fξ=0

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不等式证明
1）单调性，构造函数，求F’x
2）拉格朗日中值定理，使用 a < ξ < b
3）最大最小值

常见结论：
x/1+x < ln(1+x) < x，x>0

sinx < x < tanx，x∈(0,/2)

2012年考题：

首先考了函数性质：偶函数
构造函数Fx即可

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中值定理证明题
1）拉格朗日中值定理

2）构造辅助函数（一般是直接把右边移动到左边），罗尔定理

考了介值定理和拉格朗日中值定理

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第四章 不定积分

2+3+3：
2个概念 原函数和不定积分
3种解题方法
3类积分

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原函数和不定积分

原函数 Fx+C
不定积分 ∫fxdx=Fx+C

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存在原理

但不连续也可能存在原函数

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不定积分的性质
d∫与∫d：∫ 1 dg(x) = g(x) + C， d∫g(x) = g(x)
∫ (fx±gx) dx可拆成两部分
∫ k·fx dx常数可先提

不定积分基本公式 （背

secx = 1/cosx
cscx = 1/sinx
cotx = cosx/sinx

tan²x = sec²x - 1
sec²x = tan²x + 1

cot²x = csc²x - 1
csc²x = cot²x + 1

第一换元积分法 凑微分 （背

第二换元积分法 换元法 （背

还有直接令的形式，t = 根号下1+e²

分部积分法

比较适用于两类不同函数相乘

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1. 多项式 与 e^ax/ sin ax/ cosax，将e和三角函数部分放进dx
   
2. 多项式和lnx / arctanx / arcsinx，把多项式放进dx
   
3. e 与 sinx / cosx
   
   把e放进dx，但是不能一步做出来

三类常见可积函数积分

有理函数积分

分母分解因式，分子分母同乘凑微分

三角有理式积分

同乘cosx，凑微分

同除以cos²x，凑微分

简单无理函数积分

例题

第一换元积分法 凑微分，根号下1-x凑微分

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题型：分段函数的原函数应保证在分界点连续
选择题的话，先判断原函数Fx分界点的连续性，再判定F’x=fx

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第二换元积分法 换元法

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三角函数+指数函数，使用分部积分法，因为分部积分法比较适用于两类不同函数相乘，这里把ex放进dx去

像ex，sinx，cosx好积分的，先凑微分，放进dx
lnx / arctanx / arcsinx这些不好积分的，把多项式放进dx

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两类不同函数相乘，使用分布积分，这里先凑1/根号x的微分

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这里考点是简单无理函数积分和有理函数积分，直接令根号下多项式 = t

有理函数积分使用拆项的方法做，拆项的具体方法是看出分母是由那两个多项式因子组成的，将分子用这两个多项式因子进行加减运算表示

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考点是分部积分和原函数定义和不定积分的性质

常用公式：
∫g(fx) · f‘xdx = ∫g(fx) · 1dfx

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考点是换元积分法，综合了不定积分的性质

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第五章 定积分与反常积分

定积分的定义

具体定义略，大致说一下是定积分是非均匀分布的闭区间上的求和极限，定积分是一个常数

其中闭区间分成n份，ξi是[xi-1,xi]上的一点，记λ=max{Δxi…}

λ->0可以推出n->无穷，但是n->无穷推不出λ->0

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用积分定义做题:

例题：

提出一个1/n，写成lim 1/n[∑f(ξi)]的形式，再写成∫^b->a fxdx的形式，其中ξi∈闭区间[a,b]

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定积分存在的充分条件

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定积分的几何意义

计算面积

最常见的半圆公式计算定积分的时候

计算偏心圆的定积分

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定积分的性质

3）是|a+b| <= |a| + |b|

这个不常用

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积分上限的函数 （变上限积分

有点类似于概率论里的分布函数 ∫ fx dx = Fx

本质上是一个函数！

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变上限积分定理1

变上限积分定理2

fx为奇函数，它的变上限积分为偶函数

反之，fx为偶，∫^0->xfxdx为奇函数

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定积分的计算公式

这个最常用啦

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换元法

令t=g(x)
x = g^-1(t)，换dx
t=g(x)，换积分上下限

如：
令t=lnx，那么x=e^t，dx = de^t
t=lnx，将上下限ab带入lnx，求得新的积分上下限

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分部积分

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奇偶性

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周期性

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点火公式

记忆:先写 n-1/n，往后倒推：
写到了2/3就结束
如果写到了1/2，就多乘一个派/2

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常用结论

例题

定积分概念例题

考点：定积分定义求极限

提一个1/n出去
写成这个形式

∫上下限a,b 满足 ξi∈[a,b]

下面3题是一个考点

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考点：定积分的几何意义

S3注意一下是梯形面积，
f’'x>0表示是函数图像是凹的

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考点：定积分的性质，不等式

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考点：定积分的几何意义，
变上限积分定理2：fx为奇函数，它的变上限积分为偶函数，反之，fx为偶，∫^0->xfxdx为奇函数

这里fx是奇函数，所以Fx是偶函数

上下限a->b，应该满足b>=a的，才有定积分的几何意义，不满足条件需要对调ab，并且添加负号

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考点：定积分的几何意义，

这里可以用特殊值法

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考点：罗尔定理（F’x = fx，区间连续，端点相等 => 存在fξ=0），
定积分的性质中值定理

中值定理

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定积分计算例题

考点：定积分计算之奇偶性

+号拆分成左右两个部分，奇函数部分先化成0，偶函数部分化成2倍

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考点:定积分计算之奇偶性，定积分的几何意义

定积分的几何意义，中提到的偏圆公式

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考点：定积分常用结论，点火公式，定积分计算之奇偶性

定积分常用结论：

奇偶性，sin²x在[0,Π]上关于Π/2对称

点火公式背一下

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考点：第二换元积分法，换元法

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考点：换元法，简单无理函数积分

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考点：分部积分法，

这里很明显把x放进dx

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考点：分部积分法

这里fx是求不出来的，因此只能用分部积分把求fx转换成求f‘x的问题

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变上限定积分例题

3种类型，1，23，4
1）这种可以直接求
2）x在变上限定积分里是常数，把x提出去，在对x求导
3）换元，令x-t=u，注意变上下限
4）也是换元，令x+t=u，注意变上下限

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考点：变上限积分定理1（就是求导公式）

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考点：都是变上限积分求导

这里用的换元法，

但是最快的方法是特殊值法，直接令fx=1

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考点：Fx原函数性质（连续，F’x=fx）

因为F‘x=fx在分界点处很难求F’x，
但是通过判断Fx连续性（连续必可导），不连续的直接排除，就可以选出答案了

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常用结论：fx不连续，存在跳跃间断点，原函数Fx连续，在间断点处但不可导

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考点：定积分的定义

分段函数求原函数，容易做错，类比一下离散型随机变量求分布函数就好，
稍微注意就行

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考点：极限计算，洛必达，变上限积分求导

常用结论：
f(x) >0或者f(x)<0，且定积分值=0 => 定积分上下限a=b=0

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考点：洛必达，变上限积分求导（或者用定积分性质：中值定理）

之所以可以用定积分性质中值定理，是因为这里被积分式子有fx和gx，可以把fx或者gx提出来变为fξ或者gξ，而ξ->0

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考点：微分，隐函数求导，变上限积分求导

隐函数求导注意对x求导时，y是x的函数，y => y’，x·y => y + y’x

反常积分

无穷区间上的反常积分

定义1：（半）无穷区间上[a，正无穷）的反常积分，类似的还有(负无穷，b]无穷区间上的反常积分

这两种无穷区间：一半无穷，一半有界，求它反常积分的散敛性就是直接求定积分，直接带无穷结果是常数则为收敛，若是无穷则为发散

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定义2：无穷区间上的散敛性，

这种无穷区间，两端都是无穷，则要拆分成左右两个半无穷区间，两个都收敛，这个无穷区间反常积分才收敛

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无界函数的反常积分

无界函数即不是有界函数的函数，如y=1/x

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如果函数fx在点a任一领域内都无界，称点a为瑕点，
1/x，在点0处

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设函数fx在(a,b]上连续，点a为瑕点，下面极限存在，称此极限为fx在闭区间[a,b]上的反常积分
反之fx在[a,b)上连续，b为瑕点，类比下面极限存在，称此极限为fx在闭区间[a,b]上的反常积分

这种反常积分的散敛性情况，直接计算此极限，若为常数则收敛，若不存在则为发散

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函数fx[a,b]上除点c外都连续，c为瑕点，索要计算[a,b]区间上的散敛性，将区间ab拆分成，ac，bc

ac和bc又回到上面所述的反常积分情况，区间ac和bc都收敛，那么ab区间收敛，
只要有一个发散，那么ab发散

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反常积分常用结论1 （p积分

反常积分常用结论2

例题

考点：反常定积分的计算

A可以用p积分结论来做，BCD直接计算定积分，若结果为常数则收敛，其实本质上还是考定积分的计算

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考点：分段函数的无穷区间上的反常定积分计算

这里的fx是一个分段函数，而要计算分段函数的反常积分，需要拆分成两个部分，1到e和e到正无穷，要求这两个部分都收敛

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考点：e^x极限计算(左右有别)，定积分计算

注意，
第一个0和第二个0代表的正负性是不一样的

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考点：同敛性的比较判别法，双瑕端点的散敛性判断

这题要注意，0点是个无界点！所以这个区间ab要拆分成ac和cb，c为了计算方便取1.

同敛性的比较判别法：
现在有∫ab fx dx， ∫ab gx dx，
不失一般性的设a是瑕点，
若有lim x->a (fx/gx) ≠ 0（为非零常数），
那么∫ fx dx，∫ gx dx是同敛性的

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计算题，本质还是考定积分的计算。
定积分的计算为非就是3个方法，凑微分，换元和分部积分

这里很明显是两类不同函数相成，用分部积分来做

这题是凑微分，我们一般都会先把e^-x消掉

根号一次式，我们直接把令成t，或者另外种方法就是凑根号这个的微分

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第六章 定积分的应用

这一章其实很简单，记住4个公式即可
分别是：
平面图形面积公式，
旋转体体积公式，
曲线弧长公式，
旋转体则面积公式

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平面图形面积

公式 ∫∫^D 1 dσ

图形∈D
1表示高为1，底面积×1 = 体积 = 底面积
dσ是微小块面积，一般为dxdy

常用公式：

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旋转体体积

V = ∫∫^D 2 × 派 × r(x,y) dσ

图形D围绕直线L：ax+by=c旋转，求体积V

r(x,y)是点xy到直线L的距离 = |ax+by-c|/根号下a方+b方

2派r(x,y)dσ，dσ是图形上一小块，2派r(x,y)则是圆周长，那么圆周长×面积视为圆环体积

这个圆环体积就是体积微分dv

V = ∫∫^D dv

记住公式V = ∫∫^D 2 × 派 × r(x,y) dσ 即可

但是用的多还是这两个公式：

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弧长公式

记住3个，都很类似

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旋转体侧面积

绕x轴旋转公式

2派 · fx 是圆周长，圆周长×弧长，视作长条侧面积微分

同理fx可以改成r(x,y)

例题

这部分的例题平面面积计算、旋转体积计算和弧长计算，这部分就直接略了，都是直接套公式的题目，把图形画出来就基本没问题了。

这里我觉得主要难题是在物理应用上，做这种题的主要思想是找微元，像在二维平面建立xy轴，一般就是y做微分，切成许多的横条薄片，这一横条薄片做微元在y上积分

W=F·s，
抽水主要思想是把水沿着y方向，横向划分成n份不同水块，底面积为S，高为dy，抽水就是把这n份水块从底部移动到顶
口，每个水块移动的距离不一样，最后在y上积分即可

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这题是考的 压力=压强×面积

水主要思想是把水沿着y方向，横向划分成n份不同水块，单独考虑这一小水块的压力即可

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第七章 微分方程

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微分方程基本概念

含有位置函数的导数或者微分的方程称为微分方程

微分方程的解是满足方程的函数

积分曲线是方程的一个解在平面上对应的一条曲线

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一阶微分方程

5种方法，

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可分离变量的方程

这种最简单啦

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0次齐次微分方程

这个一般需要提一下东西出来，才能看到y/x，
或者xy需要对调

这个方法的本质是将F(x, y, y’)通过变量代换变成F(x, u, u’)方程

原本的F(x, y, y’)不好用分离变量法，换成F(x, u, u’)就好用分离变量法，求得函数G(u,x) = 0满足方程，u用y/x代回去，变成G(x,y) = 0（或者改写成y=g(x)方程）的方程即为答案，

最后如果有初始条件，计算C即可

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一阶线性微分方程

这个就是直接背公式，注意y’前面系数是1

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伯努利方程

把yⁿ除过去，会会先一个y^1-n，u=y^1-n，整理成一阶线性微分方程

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全微分方程

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可降阶的高阶方程

有3种

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F(yⁿ,x) = 0

这个最简单，直接积分即可

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F(x, y’, y’’) = 0

令y’=p,y’’=p’，
（这里p’就出现dp/dx）再用可分离变量的方程解法

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F(y, y’, y’’) = 0

令y’=p,y’’=p dp/dy
（因为没有x，y’'不能写成dp/dx，要写成dp/dy * dy/dx，即p dp/dy）
再用可分离变量的方程解法

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二阶线性微分方程

线性微分方程的解的结构 （理论

相关定理

这个很类似线性代数

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很类似线性代数

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非齐次方程特解关于非齐次项具有叠加性

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二阶常系数齐次线性微分方程

一般形式
y’’ - py’ + qy = 0

先计算特征方程

r1不等于r2 ，er1x，er2x

r1=r2， erx，xerx

r=a加减bi，eaxcosbx，eaxsinbx

例题：

计算特征方程 r1=r2=1/2，erx，xerx

三阶的微分方程怎么算呢？我们发现这个也是常系数微分方程，一样先写特征方程

解一个解是r1=2，将特征方程整理成(r-2)*多项式 = 0，继续解多项式 = 0即可

二阶常系数非齐次线性微分方程

一般形式

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如果fx是多项式*指数函数.

那么待定系数，设y* = xk · 多项式 · eλx

其中Qm(x)与fx中的多项式同次.

看λ是特征方程的几重根，
如果λ不是根，k = 0
r1=a,r2=b，λ=a或者=b是一重根，k = 1
r1=r2=c=λ是两重根，k = 2

---

如果fx是
多项式p1 * 指数函数 eax* 三角函数cosbx +
多项式p2 * 指数函数 eax* 三角函数sinbx
的形式

设y* = xk · eax [多项式 cosbx + 多项式 sinbx]

---

例题：

---

欧拉方程

令x=e^t
y’= dy/dx = dy/dt · dt/dx = dy/dt · 1/x
xy’ = dy/dt
同样可推：
x²y’ = d²y/dt² -dy/dt

例题

令x=e^t
原方程就可以写成：
D(D-1)y + 4Dy + 2y = 0
整理得
D²y + 3Dy + 2y = 0

那这个就是二阶常系数微分方程，
算特征方程求r1r2

这里的Dy是y对t求导，因此求出的通解是y=f(t)，再换元回来即可。

---

例题

写在前面：

一阶线性微分方程求解通常有4个思路

1. 分离变量
2. y/x = u，化成F(u,x)=0的函数，再进行分离变量
3. 一阶线性微分方程公式
4. 伯努利方程，把yⁿ除过去，令u=y^1-n，化成一阶线性微分方程

二阶解法有7个思路

• F(x, y⁽²⁺⁾)=0， 直接积分即可
• F(x, y’, y’’) = 0，令y’=p，化成p和x一阶方程
• F(y , y’ , y’’) = 0，令y’=dy/dx=p，把求导的dx消掉，y’’=dp/dx=dp/dy · dy/dx ，化成p和y一阶方程
• 解的结构
• 二阶常系数齐次方程，求特征方程
• 二阶常系数非齐次方程，，先求齐次方程，第二步设特解y*，待定系数
• 欧拉方程，令t=lnx，x²y’’ = D(D-1)y，Dy是y对t求导，D²y是y对t求二阶导

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这题考点是0次齐次微分方程求解法

令u=y/x ， y=ux

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考点：二阶常系数齐次方程

写出特征方程，求出r1r2

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考点：微分方程解的结构

y是二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，
我们应该记住：
通解y = C1y1 + C2y2 + y*，
重点是找出特解y*，y1和y2是线性无关的函数，
通过y1和y2反推r1r2，找到特征方程，求出a和b
最后通过特解求c

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考点：微分方程解的结构，二阶非齐次方程求解

通过齐次方程求得r1r2，找到特征方程，求出a和b
再求解二阶非齐次方程

这里的y* = 多项式为Ax+B，指数函数e0x，λ=0，不是根，所以k=0

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考点：微分方程解的结构

y1-y3,y2-y3是齐次方程的解，
这里y1,y2,y3都是特解，y3最简单因此作为y*

通解 = C1(y1-y3) + C2(y2-y3) + y*

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综合题
考点：变上限积分求导，一阶线性微分方程求解

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考点：切线方程、一阶微分方程求解

第八章 多元函数微分学

这里的微分一般指全微分公式，全微分又需要求偏导数，所以在多元常考微分，就和偏导数一起考了

概念部分常出小题，考点有判断极限存在，求极限，连续性（一般考一元），偏导数定义，二阶偏导数，全微分定义，全微分存在的必要条件和充分条件

第二部分是多元函数微分法，一般称作计算题，这部分题目一般都是方法性的题目，不难，主要掌握3个微分计算方法，

1. 直接求偏导
2. 公式法 -Fx/Fz
3. 两边同时全微分

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二元函数基本概念

二元函数极限的定义

动点xy是以任意方式趋向x0,y0的

上3次，下2次，估计为0
做法：取绝对值用夹逼，
0<= |f(x,y)| <= |x|

令y=kx

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二元函数的连续性

连续性是一个重极限，是一个区域都连续

一阶偏导数的连续也是一个重极限：
f’x是fx对x求偏导
lim f’x(x,y) = f’x(x0,y0)
因此也是一个区域D都连续，是一个比较充分的条件

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偏导数

本质上还是函数的增量与x增量的之比值的极限

求f’x，固定y0
求f’y，固定x0

先代入后求会简化很多很多

f’x几何意义，过点M(x0,y0,f(x0,y0))做平面y=y0与曲面f(x,y)相交，其交线为平面y=y0上的曲线，f‘x(x0,y0)则表示交线在点M处的切线对x轴的斜率

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二阶偏导数

二阶偏导数在区域D连续，则下标可以互换位置

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全微分

函数的微增量可以写成AΔx + BΔy + o(ρ)的形式，其中A=f’x，B=f’y，是x和y的偏导数，
ρ是动点到定点的距离

因此全微分的必要条件是f’x和f’y存在（为常数）

因此不可导肯定不可微

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如何证明可微性？

1. 求出f’x, f’y
2. 证明lim {Δz - [ AΔx + BΔy] } / o(ρ) = 0

其中Δz = f(x0+Δx, y0+Δy) - f(x0, y0)

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全微分存在的充分条件
一阶偏导数存在且连续

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连续、可导、可微之间的关系

多元函数和一元函数的区别主要是偏导引起的

类比一下一元函数

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例题 （全微分定义和性质

xy/x2+y2这个是很常见的不连续
可导性需要用偏导的定义来求f’x, f’y，直接看这个极限存不存在即可

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这题个人认为是一道难题，需要重点掌握全微分的定义，看出分母部分是动点到定点的距离，分子部分需要凑一个f(x0, y0)，凑成形式：Δz - [AΔx + BΔy]，那A和B就是f’x和f’y

另外一个解题思路是特殊值法，令fxy = 2x-y+2

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多元函数微分法

这部分主要就是计算啦

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复合函数链导法

我更喜欢叫走路法 doge

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全微分形式不变性

这部分的考题还不是很清楚

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隐函数求导

3个方法

1. 直接对方程左右两边求x的偏导，y要视为x的函数
2. 公式法 dy/dx = -Fx/Fy
3. 全微分法，方程左右两边每一项同时求全微分，整理dy和dx，得出dy/dx

直接对x求导，y和z都视为x的函数，
而公式法一般用在F(x,y,z)=0的情况，求F’x时，y和z都作为常数

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数一额外要求

例题 （微分法

这部分例题比较容易，但是要细心，对f’1求导时 先把f’1(u,v)写在旁边，对着来求导，就没那么容易错。

这题建议是先代入y后求导

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就是直接求，先代入后求导，解1这样做就慢了

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考点：二阶微分方程和二阶偏导数

例题 （隐函数

隐函数就3个方法
常用的是前2个，
直接方程两边对x求偏导，y和z都看作是x的函数
公式法，求F‘x，一般公式法是用在F(x,y,z)=0的情况，求F’x时，y和z都作为常数

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多元函数的极值与最值

可能的极值点：

1. 驻点
2. f’x,f’y至少一个不存在的点

首先要求f(x，y)可导，f’x=0 f’y=0称为 驻点

极值的定义

我们可以看到要有极值，首先就是该点领域附近有定义，所以端点是取不到极值的，只能取到最值

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极值的必要条件

f’x = 0
f’y = 0

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无约束极值

存在充分条件

一般的，我们能够计算f’x=0,f’y=0，我们希望进一步判断是极大值还是极小值

用此条件判断需要f(x,y)在某领域内有二阶连续偏导数

记A=f’xx，B=f’xy, C=f’yy

计算AC-B²，判别式大于0，A>0 开口朝上 有极小值，A＜0 开口朝下，有极大值

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注意：

对于1）来说还有一个函数可以用定义来判定，如 f(x,y) = x²y²，在0，0点一定是极小值

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条件极值

什么是条件极值？条件极值是求在g(x,y)=0的条件函数fxy的极值

方法为拉格朗日乘数法

这里问题的关键是如何解方程组，一般情况下λ=0或者什么=0，分情况讨论

核心思想还是消元

注意：

其实就结果直接计算，选最大做极大值，选最小的做极小值

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最大值和最小值

3步

1. 求极值
   求f’x f’x，求ABC，或者用拉格朗日乘数法
2. 求边界上点的极大值和极小值
   这里的边界一般就作为条件函数，化成Gxy=0 用拉格朗日乘数
3. 比较

例题

这一题给了函数的全微分，全微分说明该函数可导且连续，下面要求该点是极大值还是极小值，第一个思路就是求ABC，因为f’x，f’y已经知道了，ABC很好求

第二个思路是直接构造特殊值，凑微分，求出z=f(x,y)

---

这题直接让我求极值，不难，求f’x=0，f’y=0，ABC就行

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这题就是直接考拉格朗日乘数法多元推，难点在怎么解方程组，其实也很好解

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这里给了全微分，和初始条件，直接用凑微分法求出原函数，

我要们求最值，需要求两个，1是极值，2是边界上的点，求边界上的最值有两个思路：

1. 化条件为无条件，y用x表示，或者用参数方程表示y和x
2. 条件用拉格朗日乘数法

第九章 二重积分

这部分可能会考大题

二重积分的概念

积分微元是平面上的小块 dσ

定义

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几何意义

曲顶柱体的体积

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性质

1. 不等式性质
2. 中值定理

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二重积分的计算

1）直角坐标系 xy，yx，或者交换次序
2）极坐标

3） 利用奇偶性
4） 轮换对称性

区域D如果x，y互换，区域D不变，那么则有∫∫ f(x) dσ = ∫∫ f(y) dσ

例题

这部分主要就是考交换积分次序和计算，
解法很固定，都是先画图，然后选择4种计算方法

直接做不好做，交换积次序

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极坐标计算

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这题考的奇偶性，画出图形，是一个三角形，主要思想就是通过添加辅助线，将图形划分为两个关于x和y轴对称的图形，利用奇函数性质化简

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奇函数性质化简，画出图像，使用极坐标，注意三角函数部分的化简，点火公式运用

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绝对值的处理，划分区域成D1,D2，D2计算可以用正方形-D1

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这题第一个想法是用极坐标计算，但是分子一个x不好计算，
又发现区域D是一个圆，考虑轮换对称性，加一个f(y,x)

将分母的x+y消掉

方法二，直接计算

技巧：
θ=Π/2 - t
在三角函数里，利用
区间不动的变量代换： 令x=a+b-t
再利用诱导公式，cos转换成sin，相加进行化简
有点像轮换对称性的思想

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考点是二重积分的几何意，在y-x>0区域D种， ∫∫ y-x dσ >0，
这题是函数fxy不变在不同区域种，

另一种考法是不等式性质，在区域D不变，考虑不同的fxy

---

第十章 无穷级数

常数项级数

什么是常数项级数

就是每一项都是常数的无穷项累加

主要考点在敛散判断，
发散通常就是S = 无穷

直接展开计算

等比数列求和，有公式

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性质

1. 级数S收敛，kS也收敛
2. 级数u和级数v收敛，u+v也收敛
3. 不存在 + 存在 = 不存在
4. 不存在+ 不存在 = 不确定
   

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注意

1. 级数的敛散性只与后无穷项有关
2. 收敛级数加括号收敛且和不变

1. 级数加括号收敛，原级数不一定收敛，如 1-1+1-1…
2. 级数加括号后发散，原级数一定发散，部分发散，整体一定发散

3. 

级数收敛的必要条件

对1举个反例，如1/n的级数发散，但是极限lim un = 0

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常数项级数审敛准则

3类审敛法

这部分考题的重点，分成3个部分，

1）是正项级数，就是每一项都大于0，
有4个办法，先用34，比值法和根值法，再用12比较判别法和比较法的极限形式（需要缩放，不好做）

34方法的思想是等比数列的类比

12方法，大收小也收，小散大就散，2和1差不多意思，（2)的①同敛散转换用的挺多

常用的缩放结论：
p级数
1/n发散很经典

等比求和

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2）交错级数，就是一个正数，一个负数，交错的级数，
用莱布尼茨准则，数列单调 且 lim un=0，则交错级数收敛

注意反之不成立

---

3）任意项级数

用加绝对值的方法，转换成正项级数，若绝对值|S|收敛，则S必收敛，因为大收敛小必收敛
或者利用条件收敛，条件收敛的正/负项构成的级数一定发散，
这是因为S收敛了，而|S|发散，一种特殊情况是S是一正一负抵消了，单独把正项和负项提出来则必发散

推导：un±|un| => 收敛±发散 = 发散

例题

A） an=bn是一个交错级数 -1ⁿ/√n， anbn = 1/n发散

B） an=bn=1/n， anbn = 1/n² 收敛

C）正确

∑|bn|收敛，lim an=0，an有界，|an| <= M,
|anbn| <= M|bn|, M|bn|收敛，则|anbn|收敛

∑|an|收敛，正项级数收敛，则lim |an| -> 0（0 <=lim |an|< 1），
an² <= |an|，则∑an²收敛

有两个结论，

∑|bn|收敛，lim an ->0，则∑|anbn|收敛
∑|an|收敛，则 ∑an²收敛

D）an=bn=1/n，an2bn2收敛

---

A 正确定理，级数收敛，级数加括号也收敛，反之不成立，BD错误
C，un若为交错级数前项加后项抵消，改成减必发散

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幂级数

定义

什么是幂级数？

类比一下泰勒展开，泰勒展开最后高阶无穷小代替，而幂级数是n->无穷的累加和

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幂级数定理

1） 阿贝尔定理

幂级数S(x)的收敛半径和收敛域的由来

2）幂级数收敛性质只有下面三种可

收敛半径、收敛区间和收敛域

注意：

条件收敛则一定是收敛区间的一个端点，刚好是一个临界状态，∑anxn收敛，∑|anxn|发

求收敛半径的两个方法，比值法和根值法，这和？什么很像

---

幂级数性质

1）有理运算性质：加减乘除

R是R1R2中小的那个

anxn·bnxn的系数是有规律的，注意xn的系数：a的i从0到n，b的j从n到0，aibj累加

---

分析性质，

连续性：收敛区间内连续
可导性和可积性：级数项乘一个或者除一个数不影响收敛区间

例题

求收敛半径就两个求法，比值和根值，注意使用系数算

---

要求收敛区间，先求收敛半径，收敛区间=（x0-R，x0+R）

难点：判断端点处，x=常数R，变成常数项级数，判断的收敛性，用3类审敛法（正项，交错，任意）

---

系数一样中心不一样 => 收敛半径一样，收敛域平移

这题考的是阿贝尔定理和收敛域平移

---

破题关键在于：幂级数定理（条件收敛的临界状态），还有一个思想要掌握是幂级数在x=x0处是常数项级数

级数an在x=1时条件收敛，则an(x-1)在x=2的时候条件收敛，则2是一个端点，x=1又是中心，可以求出收敛区间(0,2)

---

函数的幂级数展开

定义

函数表示成幂级数形式，一种趋近的思想，化曲为直

展开幂级数的两种方法：

直接法，用下面的定义
间接法，用7个常用公式去凑

幂级数展开的必要条件是fx任意阶可导，

展开中心x0的改变会改变收敛区间，展开中心与收敛半径的关系为（x0-R，x0+R）

---

定理

展开式唯一

泰勒级数

这个其实就是泰勒公式，很熟悉的形式

fx任意阶可导 => 泰勒级数在收敛区间内收敛与fx 【充要条件】是 lim Rn = 0

常用展开式（背

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例题（幂级数展开

分母因式分解，1/2-x的处理是提一个1/2 分母化成1-x的形式

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老样子，分母因式分解拆项，分母提项化成 1/1±x的形式

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求导数的级数展开，在积分

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例题（级数求和

求收敛域，先求半径，判断端点
已有公式1/1-x转换=∑xⁿ，原式 = x∑nx^n-1，x∑(xⁿ)’

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已有公式 1/1+x = (-1)^n-1 xⁿ

---

分母拆项，

常用结论： ∑xⁿ/n = - ln(1-x)

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提一个x出去，累加项的导数S’x变成某个函数的级数，两边求积分，注意不是不定积分，
S‘x求积分Sx是变上限积分∫x->0 S’t dt

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傅里叶级数

傅里叶级数主要研究周期函数，fx用级数来表示

主要记住an bn和傅里叶级数的写法

an和bn就只差了cos和sin，a是cos，b是sin

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狄利克雷收敛定理

fx在[-pai,pai]连续且只有有限个第一类间断点，且最多只有有限个极值点，则fx在区间里处处收敛。且有3个收敛公式：连续点，间断点，端点

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函数展开公式

周期2Π省略，l改成Π即可


用到了积分性质的奇偶性

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奇延拓和偶延拓

例题（狄利克雷收敛定理

狄利克雷收敛定理，1是端点，S(1)收敛于f(-1+)+f(1-)/2

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函数展开只有bn，an = ∫ fxcosnx = 0，说明fx是奇函数，Sx从题也可以看出是奇函数，S(-1/2) = -S(1/2)，用狄利克雷收敛定理Sx=fx

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例题（函数展开傅里叶级数

周期为2，2l=2，l=1，
函数在区间上连续，且为偶函数，
求an、a0即可，bn=0，根据定义写出傅里叶级数
fx写成傅里叶级数，当x=x0时化成某些特殊的常数项级数

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展开3部分走，

定周期T=2l，确定l，
求an、a0、bn
写级数展开
这里还考了奇偶延拓，展开成余弦，说明fx是偶函数，偶延拓

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第十一章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

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向量代数

这部分比较简单，主要记住点乘和叉乘的公式，还有几何意义

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点乘

余弦公式推导和垂直

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叉乘

叉乘是一个向量


叉乘求出来的向量同时垂直被计算的两个向量

平行则叉乘=0
a×a=0，b×b=0

性质

(a×b) · a = 0
(a×b) · b = 0

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混合积

混合积=先叉乘再点乘，代数上等于求行列式，
轮换对称性和交换变号，其实就是行列式的性质

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例题（向量代数

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空间平面与直线

主要还是记住公式

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点到直线距离，用叉乘的模的几何意义

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例题

比较简单了，略吧

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曲面与空间曲线

线段绕轴旋转形成的面的方程

柱面方程，核心思想就是消掉一个变量，比如z

常见的二次曲面，知道图像

空间曲线投影，先求柱面，再z=0

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例题（曲面与空间曲线

求平行z轴的柱面，联立消去z即可

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曲线绕轴旋转，绕什么轴，那个字母不动，另一个字母换成√另两个字母的平方合

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求曲线在面上的投影，先消元，投影到xoy面上，消去z，投影到xoz面上，消去y

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多元微分学在几何上的应用

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曲面的法向量

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到了曲线上求的就是切向量了

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例题

在点(0，1，-1)处，可以通过F’x F‘y F’z求法向量，再用点法式求切平面

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绕y轴旋转，y不变，x变换，求的F’xF’yF’z

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面与面平行，则它们的法向量平行，求出切点，代回求得法向量，点法式求平面

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第十二章 多元积分学及其应用

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三重积分

计算：
1）直角坐标，先1后2，

先2后1，


如果fxyz只有z，后面积分部就计算横截面积

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柱坐标，
适合范围，
fxyz = gz · h(√x2+y2) = gz · h(ρ)

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利用奇偶性

还有轮换对称性

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例题

利用轮换对称性

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主要是能画出图像，第一个是圆锥面，第二个柱面

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曲线积分

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第一类线积分

对弧积分

性质：积分路径与结果无关

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计算：
1）直接法：
直接把弧微分展开，常用参数方程（极坐标）

2）利用轮换对称性
3）利用奇偶性

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第二类线积分

两类线的联系

对x、y等垂直方向积分，

计算：
曲线封闭吗？是，green公式，积分路径无关吗？否，参数方程（极坐标）或者补线用green

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直接法，用参数方程x、y都换成一个t，对t积分

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green公式

逆时针正向，顺时针要加负号

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积分路径无关

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斯托克斯公式（空间

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例题

直接代入函数，

x奇函数，图像关于y对称，

利用参数方程计算

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用参数方程好点

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曲面积分

第一类面积分

性质：与方向无关

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计算

也是直接法、奇偶性、轮换对称性

Dxy是投影域，扁平到平面中，函数×曲线翘值

第二类面积分

和第一类线积分相似

上为正

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计算

直接法，把z换成xy的表达，投影成二元的平面积分

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高斯公式

变成空间三重积分，要求分片光滑封闭空间曲面

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例题

一类面积分，直接法，利用公式即可，
变成投影域的二重积分，被积项=函数×曲面翘值
关键：

1. 找好投影
2. 计算dS=√1+z’x2+z’y2 dxdy

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这题一看就是利用高斯公式好点，补一个面

多份积分应用

补充形心，是ρ视为1常数的特殊质心

记住第二列即可，其他列可以推导

关键是写出F的向量，这是一个二类线积分

二类面积分问题

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例题：

形心，ρ视为1常数的特殊质心

场论初步

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方向导数

计算用定理，
注意这里的cos是【l向量】 的方向余弦，要单位化

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梯度

就是这点的切线

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散度和旋度

要求会计算即可

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例题：

用方向导数定理（定义不好做），再用拉格朗日乘数法计算最值

方向导数 = u’xcosa + u’ycosb + u’zcosc，
cos是l的方向余弦

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梯度是一个向量，定义：(f’x i，f’y j , f’z k)，
依次计算f’x y z即可

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直接套公式

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算术边角料：

x^1/2 * x^1/3 = x^5/6，不是x^1/4和x^1/5
cos2x=cos²x-sin²x =2cos²x-1 =1-2sin²x