Subpermutation-2021中国大学生程序设计竞赛（CCPC）- 网络选拔赛（重赛）
题意：
把所有 n n n元排列按字典序从小到大排成一列，求其中有多少子串为 m m m元排列, t t t组询问。
题解：
(1)考虑单个 n n n元组中的 m m m元组个数。
将 m m m元组看成一个元素，排列组合有 m ! m! m!的情况，现在共有 ( n − m + 1 ) (n-m+1) (n−m+1)个元素，排列组合为 ( n − m + 1 ) ! (n-m+1)! (n−m+1)!。共有 m ! ( n − m + 1 ) ! m!(n-m+1)! m!(n−m+1)!的 m m m元组。
(2)考虑跨两个 n n n元组的 m m m元组个数。
假设 k k k为某个排列中的最后一个使得 p k < p k + 1 > p k + 2 p_k
即 p 1 , p 2 , p 3 . . . p k < p k + 1 > p k + 2 > p k + 3 . . . > p n p_1,p_2,p_3...p_k
那么下一个字典序的排列为:
p 1 , p 2 , p 3... p j < p n < . . . < p j + 1 < p k < p j − 1 < . . . . < p k + 1 ( p j > p k ) p1,p2,p3...p_j
假设 i i i为我们所要的 m m m元组开头的位置。
1.当 i < = k i<=k i<=k时：
第一个排列中存在 n − i + 1 n-i+1 n−i+1个数，剩下的数在第二排列中，因为 m < n m
因为 i < = k i<=k i<=k所以在 [ i , n ] [i,n] [i,n]内必须存在一个位置 k k k使得 p k < p k + 1 p_k
也就是 m ! ( 全 部 的 方 案 ) − ∁ m n − i + 1 ( m − ( n − i + 1 ) ) ! ( m 个 数 选 出 n − i + 1 个 数 在 第 一 个 排 列 中 , 且 为 降 序 排 列 的 方 案 ) m!(全部的方案)-\complement_m^{n-i+1}(m-(n-i+1))!\ (m个数选出n-i+1个数在第一个排列中,且为降序排列的方案) m!(全部的方案)−∁mn−i+1(m−(n−i+1))! (m个数选出n−i+1个数在第一个排列中,且为降序排列的方案)
剩下的 n − m n-m n−m个数随便排列。
于是此时的方案数为 ( n − m ) ! ( m ! − ∁ m n − i + 1 ( m − ( n − i + 1 ) ) ! ) (n-m)!(m!-\complement_m^{n-i+1}(m-(n-i+1))!) (n−m)!(m!−∁mn−i+1(m−(n−i+1))!)
2.当 i > = k + 1 i>=k+1 i>=k+1时：
此时 p k p_k pk不在 m m m元组中, p k > m p_k>m pk>m，而 p j > p k > m p_j>p_k>m pj>pk>m，所以 p j p_j pj也不再 m m m元组中。
同样：(标黄的是m元组出现的范围)
p 1 , p 2 , p 3 . . . p k < p k + 1 > p_1,p_2,p_3...p_k
那么下一个字典序的排列为:
p 1 , p 2 , p 3 p1,p2,p3 p1,p2,p3 . . . p j < p n < . . . < p j + 1 < p k < p j − 1 < . . . . < p k + 1 ( p j > p k ) ...p_j
这就意味着在第二个排列中，最后一个元素的下标为 i + m − 1 − n < j i+m-1-n
前 n − i + 1 n-i+1 n−i+1个数是递减的,剩下 ( m − ( n − i + 1 ) ) (m-(n-i+1)) (m−(n−i+1))个数没有限制，方案数为 ( m − ( n − i + 1 ) ) ! (m-(n-i+1))! (m−(n−i+1))!。对于 m m m元组以外的 m − n m-n m−n个数，必须存在一个 k k k使得 p k < p k + 1 p_k
i i i的范围:
第一个排列中的数要小于 m m m.
( n − i + 1 ) > = m − 1 , i > = n + 2 − m (n-i+1)>=m-1,i>=n+2-m (n−i+1)>=m−1,i>=n+2−m
最后答案就是 m ! ( n − m + 1 ) ! + ∑ i = n + 2 − m n ( ( n − m ) ! ( m ! − ∁ m n − i + 1 ( m − ( n − i + 1 ) ) ! ) + ∁ m n − i + 1 ( m − ( n − i + 1 ) ) ! ( ( n − m ) ! − 1 ) ) m!(n-m+1)!+\sum_{i=n+2-m}^n((n-m)!(m!-\complement_{m}^{n-i+1}(m-(n-i+1))!) +\complement_{m}^{n-i+1}(m-(n-i+1))!((n-m)!-1)) m!(n−m+1)!+∑i=n+2−mn((n−m)!(m!−∁mn−i+1(m−(n−i+1))!)+∁mn−i+1(m−(n−i+1))!((n−m)!−1))
化简得： m ! ( n − m + 1 ) ! + ( m − 1 ) ( n − m ) ! m ! − m ! ∑ i = 1 m − 1 1 i ! m!(n-m+1)!+(m-1)(n-m)!m!-m!\sum_{i=1}^{m-1}\frac{1}{i!} m!(n−m+1)!+(m−1)(n−m)!m!−m!∑i=1m−1i!1
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