RMQ算法模板

2、  RMQ算法（转载）

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法也许会存在问题。

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F[1，2]=5，F[1，3]=8，F[2，0]=2，F[2，1]=4……从这里可以看出F[i,0]其实就等于A[i]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

然后是查询。取k=[log2(j-i+1)]，则有：RMQ(A, i, j)=min{F[i,k],F[j-2^k+1,k]}。 举例说明，要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。

代码

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#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#define maxn 107
using namespace std;
int num[maxn],f[maxn][maxn],pow2[20],n;
//f[i][j] 表示从j开始长度为2^j中最大值
void init_rmq(int len)
{
    int i,j;
    for (i = 0; i < len; ++i)//初始化2^0
    f[0][i] = num[i];
    for (i = 1; pow2[i] <= len; ++i)//i从1开始
    {
        for (j = 0; j + pow2[i-1] <= len; ++j)//从0开始
        f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j+pow2[i-1]]);
    }
}
int rmq(int s,int e)
{
    int k = log(1.0*(e-s+1))/log(2.0);
    return max(f[k][s],f[k][e-pow2[k] + 1]);//注意e-pow2[k]+1是因为k求出来可能是约数
}
int main()
{
    int i,s,e;
    while (1)
    {
        scanf("%d",&n);
        for (i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d",&num[i]);
        for (i = 0; i < 20; ++i)
        pow2[i] = 1<<i;
        init_rmq(n);
        while(1)
        {
            scanf("%d%d",&s,&e);
            int a = rmq(s,e);
            printf("%d\n",a);
        }
    }
    return 0;
}