pku2115 C Looooops 扩展欧几里德

http://poj.org/problem?id=2115

通过这道题有学习了一些新的数论知识，感觉很充实。哈哈。

做这道题首先要理解：同于定理：http://baike.baidu.com/view/1490645.htm?fromTaglist

这里主要运用了（2）

同余有三种说法都是等价的,分别为:

　　(1) a和b是模d同余的. a=b(mod d)这里的=是三道杠的。

　　(2) 存在某个整数n,使得a=b+nd .

　　(3) d整除a-b.

第二就是扩展欧几里德：

日华的博客里面写的扩展欧几里德不错：给个链接：http://starry314.blog.163.com/blog/static/19231833820121724628448/ 

题目的意思就是求（A + C*x）=B(mod 2^k)注意这里的等号是同于的等号（不知道怎么大三个杠的囧）

首先根据同于性质（2）得： A + C*x + 2^k*y = B ----> C*x + 2^k*y  = (B - A + 2^k)%2^K

另 a = C b = 2^k  p = (B - A + 2^k)%2^k ---> a*x + b*y = p;这就转化成扩展欧几里德求解线性方程的问题看上边博客。

这里自己补充一点：

当我们运行完exp_gcd函数时，我们得到的x1,y1是a*x1 + b*y1 = gcd(a,b) = d;的x,y的解，而我们通常要求的是a*x + b*y = p的解

这里有个推导过程：

a*x1 + b*y1 =  d ---> (a/d)*x1 + (b/d)*y1 = 1;............(1);

a*x + b*y = p -----> (a/p)x + (b/p)*y  = 1;..........(2);

由（1）（2）得：x = (p/d)*x1; y = (p/d)*y1; 得到x,y后再利用 a(x + n*b) + b(y - n*a) = p 来对x，y进行缩小放大。如果要得到最小的x则直接由 x = (x%b + b)%b得到即可

View Code

#include <iostream>

#include <cstring>

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#define maxn 507

#define LL __int64

using namespace std;



LL Pow(int a,int k)

{

    LL sum = 1;

    for (int i = 1; i <= k; ++i)

    sum *= a;

    return sum;

}

LL exp_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)

{

    if (b == 0)

    {

        x = 1; y  =0;

        return a;

    }

    else

    {

        LL d = exp_gcd(b,a%b,x,y);

        LL tmp = x;

        x = y; y = (tmp - (a/b)*y);

        return d;

    }

}

int main()

{

    LL A,B,C,a,b,p,x,y;

    int k;

    while (~scanf("%I64d%I64d%I64d%d",&A,&B,&C,&k))

    {

        if (!A && !B && !C && !k) break;

        a = C; b = Pow(2,k);

        p = (B - A + b)%b;

        LL d = exp_gcd(a,b,x,y);

        if (p%d != 0)

        {

            printf("FOREVER\n");

        }

        else

        {

            /*

            这里自己开始没理解好，我们求出来的x,y是a*x +　b*y = gcd(a,b)的解，

            而我们要的则是a*x + b*y = p的解，所以要转化一下

            */

            p /= d;

            b /= d;

            a /= d;

            x *= p;

            x = (x%b + b)%b;

            printf("%I64d\n",x);

        }

    }

    return 0;

}