用MATLAB求高阶微分方程(组)数值解

用MATLAB求高阶微分方程(组)数值解

使用MATLAB求解数值解时，高阶微分方程(组)必须转换成一阶微分方程组，需要做一个变量替换。

例题

求
$$(1+x^2)y^{"}=2x{y}^{‘}$$
的数值解，其中x属于[-2,2]，初始值y(-2)=3，y^`(-2)=4

使用
$$\begin{gathered} y_1=y \\ {y}_2=y_1^{‘} \end{gathered}$$
替换得到
$$\begin{gathered} y_1^{‘}=y_2 \\ {y}_2^{‘}=\frac{2x}{(1+x^2)}{y}_2 \end{gathered}$$
写成.m文件：

function dy = df3(x,y)
    dy=zeros(2,1);%列向量
    dy(1)=y(2);
    dy(2)=(2*x)/(1+x*x)*y(2);
end

解方程组

[x,y]=ode45('df3',[-2,2],[3,4])
plot(x,y)
legend('y','y`')

一般可以先看是否有解析解，如果没有解析解则使用数值解。