【复习笔记】线性代数——向量及向量组的线性相关性

目录

一、向量的概念和运算

二、向量组的表出与线性相关的概念

三、判别线性相关性的七大定理

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一、向量的概念和运算

1、n维向量：n个数构成的一个有序数组称为一个n维向量，记成

2、运算：相等，加法，数乘 

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二、向量组的表出与线性相关的概念

1、线性组合

2、线性表出

3、线性相关

对m个n维向量，，若存在一组不全为0的数，，使得

,

则称该向量组线性相关。

4、线性无关

与线性无关相反，向量组或线形无关或线形相关，二者必居其一。

单个非零向量，两个不成比例的向量均线性无关。

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三、判别线性相关性的七大定理

定理1 向量组线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的m-1个向量线性表出。

证明：

（必要性）

设向量组线性相关，则存在m个不全为0的数，，使得

因为不全为0，不妨设， 则，证明完毕；

（充分性）

设可用线性表示，即，

于是，

显然，不全为0，则向量组线性相关，证明完毕。

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 定理2 若向量组线性无关，而线性相关，则可由线性表出，并且表示法唯一

 证明：

因为加上后线性相关，则可以得到存在不全为0的系数使向量组的线性组合为0，又因为加上    前的向量组线性无关，所以除了的系数全为0，将线性组合移项可得到的线性表达。

假设有两种不同的表示法，

 于是相减得.                                             

因为向量组线性无关，所以必有

与假设矛盾，故线性表示的表示法唯一。

表示法唯一也可以这么理解：因为向量组线性无关，可以认为向量组中的每一个向量只能表示一个维度的度量，如向量（0，0，1），（0，1，0）（1，0，0），几何意义来说，只表示xyz各自方向，互不影响，独立，组合起来表示的是一个空间物体，物体是唯一的，那么表示法也是唯一的。

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定理3 如果向量组可由向量组，线性表达，且，则线性相关。

 （高维空间可以表示低维空间，反之则不可）

证明：设出的所有的含线性表达（k），因为 线性相关，则其存在不全为0的系数（l），使向量组的线性组合为0。

令t=3，s=2，设

需证明存在，

使得

代入发现三个未知数，而只有两个方程，故必存在非零l使得方程成立（可以给定一个，求解另外两个）。

从几何上来理解，这个也相当于，三维空间，令某一维不表出（为0）从而可以表出二维的向量。而二维向量无法表出三维。（x,y,z）能表示空间包含了平面的向量与（x,y）只能表示平面的向量。

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定理4 向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组有非0解。

 注：如果，即方程个数小于未知数个数（一行表示一个方程，一列表示一个未知数，n表示未知数的维度），则求解时必有自由未知量。

因此任何n+1个n维向量组成的向量组都是线性相关的。任何一个线性无关的n维向量组最多只能含有n个向量。

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定理5 向量可以由向量组线性表出的充要条件是有解。（相当于加上之后的向量组的秩不变）

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定理6 如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。（已经存在不全为0使向量组合为0，再加上就算后面的系数全为0，也满足线性相关的条件，是增加列不改变线性相关）

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定理7 如果一组n维向量线性无关，则把这些向量增加m个分量得到的新向量（n+m维）也是线性无关的。（只有全0才能满足之前n维的组合为0，再加多行也无济于事。未知数都确定为0，再加方程的数量也改变不了）

如果向量组线性相关，那么去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的。（已经存在不全为0的系数使向量组合为0，就算去掉行，方程变少，未知数的量不变，所以也同样满足）