杨辉三角及实现

1. 百科：

杨辉三角，又称贾宪三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。
它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

如图所示：

• 每行端点与结尾的数为1。
• 每个数等于它上方两数之和。
• 第n行的数字有n项。
• 每行数字左右对称

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2. 编程实现

2.1 借助一个二维数组存放杨辉三角中的每个数。

打印直角三角形的形状：

#include 

int main() {
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int arr[100][100] = { 0 };
	int i = 0;
	for (i = 0; i < n; i++) {
		int j = 0;
		for (j = 0; j < n ; j++) {
			if (i == j || j == 0) {
				arr[i][j] = 1;
			}
			else {
				arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j - 1];
			}
			if (i >= j) {
				printf("%3d ", arr[i][j]);
			}
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

运行结果：

2.2 打印等腰三角形的形状：

#include 

int main() {
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int arr[100][100] = { 0 };
	int i = 0;
	for (i = 0; i < n; i++) {
		int j = 0;
		for (j = 0; j < n; j++) {
			if (i == j || j == 0) {
				arr[i][j] = 1;
			}
			else {
				arr[i][j] = arr[i - 1][j] + arr[i - 1][j - 1];
			}
		}
	}
	int j = 0;
	/*for (i = 0; i < n; i++) {
		for (j = 0; j < n - 1 - i; j++) {
			printf("   ");
		}
		for (j = 0; j <= i; j++) {
			printf("%5d ", arr[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}*/
	for (i = 0; i < n; i++) {
        //对于每一行，先打印空格再打印数据
		for (j = 0; j < n - 1 - i; j++) {
			printf("  ");
		}
		for (j = 0; j <= i; j++) {
			printf("%3d ", arr[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

运行结果：
//

2.3 另一种思路

看成是长为n，宽为2*n-1的矩阵。初始化n*(2*n-1)个矩阵元素为0。
对应元素符合判断条件就进行相关操作。
外围的1可以分成左半边矩形副对角线部分与右半边矩形主对角线部分。
在内围的有效范围是（n-1-i） ~ （n-1+i）
对于有小范围内的位置进行操作：左上位置数据与右上位置数据之和

#include 

int main() {
	int n = 0;
	scanf("%d", &n);
	int arr[30][30] = { 0 };
	int i = 0;
	for (i = 0; i < n; i++) {
		int j = 0;
		for (j = 0; j < 2 * n - 1; j++) {
			if (i + j == n - 1 && j<=n-1) {
				arr[i][j] = 1;
			}
			if (i == j - (n - 1) && j > n-1) {
				arr[i][j] = 1;
			}
			if (j > n - 1 - i && j < n - 1 + i && i>=1) {
				/*if (i % 2 == j % 2) {
					arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j + 1];
				}*/
				arr[i][j] = arr[i - 1][j - 1] + arr[i - 1][j + 1];
			}
		}
	}
	for (i = 0; i < n; i++) {
		int j = 0;
		for (j = 0; j < 2 * n - 1; j++) {
			if (arr[i][j] != 0) {
				printf("%3d", arr[i][j]);
			}
			else {
				printf("   ");
			}
			//printf("%3d", arr[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

运行结果：

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END