POJ 1601 拓展欧几里得算法
学习链接：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html
先来学习一下什么是欧几里得算法：
欧几里得原理是：两个整数a ，b的公约数等于b ，a%b这两个数的公约数。即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，他们的任何公约数都是相同的，所以他们的最大公约数也是相同的。
那么结合任何数和0的最大公约数都是他自己，就可以得出最大公约数的求解算法了。
1 int gcd(int a, int b) 2 { 3 if(b==0) 4 return a; 5 else 6 return (b,a%b); 7 }
下面是拓展欧几里得算法：
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：要证明这个式子成立，就是要找出整数对x，y。我们用递归的思想去寻找x，y。
1.显然当b=0时，gcd(a,b)=a,x = 1,y = 0;
2.ab!=0时，
假设：ax1+by1 = gcd(a,b);
bx2+(a % b)y2 = gcd(b,a%b);
又因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b),所以有
ax1 +by1 = bx2+(a%b)y2;
以此类推：ax1 +by1 = bx2+(a%b)y2 = ……=#xn +(*%#)yn;
由此可见当*%#==0时，就可以知道xn,yn,以及#，*的值，这时如果在知道xn，yn和x(n-1),y(n-1)之间的递推关系就可以求出x1，y1了。
求递推关系：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
证明的递推代码如下，也就是求x，y的代码：
1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y) 2 { 3 if(b==0) 4 { 5 x=1; 6 y=0; 7 return a; 8 } 9 int r=exgcd(b,a%b,x,y); 10 int t=x; 11 x=y; 12 y=t-a/b*y; 13 return r; 14 }
我觉得这个代码写的还是挺吊的，至少以现在我的水平来看；嗯，要加到递归学习中去。非递归代码也放在这儿了：
1 int exgcd(int m,int n,int &x,int &y) 2 { 3 int x1,y1,x0,y0; 4 x0=1; y0=0; 5 x1=0; y1=1; 6 x=0; y=1; 7 int r=m%n; 8 int q=(m-r)/n; 9 while(r) 10 { 11 x=x0-q*x1; y=y0-q*y1; 12 x0=x1; y0=y1; 13 x1=x; y1=y; 14 m=n; n=r; r=m%n; 15 q=(m-r)/n; 16 } 17 return n; 18 }
下面讲一下应用：欧几里得算法主要有三个方面的应用：
1.求解不定方程；
2.求解模线性方程；
3.求解模的逆元；
（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：（来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html）
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：