二项式定理
二项式的定义
在数学概念中两个变量的相加，就是二项式。
二项式定理（binomial theorem）主要是讲解二项式整数次幂（或称次方）的代数展开。
是二项式（x+y）的n次方。
二项式的几何意义
二项式展开与规律性分析
从以上可以发现下列规则：
（1）x和y的最高次幂的系数皆是1。
（2）x和y的次高次幂的系数皆是n。
（3）各项
的指数和为n=n-k+k。
（4）各系数左右对称，由左右两边往中间变大。
Pascal三角形：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
找出项的系数
组合数学（combination）。
(1) 验证k=0 
(2) 验证k=1 
(3) 验证k=2 
(4) 验证k=4 
(5) 验证k=5 
二项式的通式
头系数计算是从n中取0个，计算方式如下：
尾系数计算是从n中取n个，计算方式如下：
中间系数验证：
二项式到多项式
如果在二项式内增加一个变量z，
，这是三项式。
二项分布实验
成功概率是p，失败概率是1-p
二项式公式，可以得到p（成功）和(1-p）（失败）出现 的次数概率，称二项式分布概率。
将二项式概念应用在业务数据分析
业务员销售第1、2、3、年每拜访客户100次，可以销售国际证照考卷的张数公式，如下所示：
斜率是7.5，这个斜率意义是每拜访100次，可以销售750张考卷。每拜访10次可以销售7.5张考卷。
每次拜访销售考卷的成功率是0.75。
每5次拜访销售0张考卷的概率
销售失败的概率 ：
连续5次拜访皆是失败，概率用公式表示：
>>> 0.25**5
0.0009765625
>>>每5次拜访销售1张考卷的概率
拜访5次可以销售1次的机会：
成功销售1张的概率是0.75，在5次拜访中出现1次，相当于是1次方。
销售失败是4次，失败概率是0.25，相当于是4次方。
整个计算结果如下：
>>> 5*0.75*(1-0.75)**4
0.0146484375
>>>每5次拜访销售2张考卷的概率
拜访5次可以销售2次的机会：
成功销售1张的概率是0.75，在5次拜访中出现2次，相当于是2次方。
销售失败是3次，失败概率是0.25，相当于是3次方。
整个计算结果如下：
>>> 10*0.75**2*(1-0.75)**3
0.087890625
>>>每5次拜访销售0~2张考卷的概率
计算销售0~2张考卷的概率，将上述销售0张、销售1张、销售2张的概率结果相加就可以了。
整个计算结果如下：
>>> 0.0009765625+0.0146484375+0.087890625
0.103515625
>>>列出拜访5次销售k张考卷的概率通式
拜访5次可以销售k张的机会：
成功销售1张的概率是0.75，在5次拜访中出现k次，是0.75的k次方。
销售失败是5-k次，失败概率是0.25，是0.25的5-k次方。
二项式概率分布Python实践
实践销售0~5张考卷的概率，同时使用直方图绘制此图表。
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def probability(k):
num = (math.factorial(n))/(math.factorial(n-k)*math.factorial(k))
pro = num * success**k * (1-success)**(n-k)
return pro
n = 5 # 销售次数 # 成功机率
success = 0.75 # 销售成功机率
fail = 1 - success # 销售失败机率
p = [] # 储存成功机率
for k in range(0,n+1):
if k == 0:
p.append(fail**n) # 连续n次失败机率
continue
if k == n:
p.append(success**n) # 连续n次成功机率
continue
p.append(probability(k)) # 计算其他次成功机率
for i in range(len(p)):
print('销售 {} 单位成功机率 {}%'.format(i, p[i]*100))
x = [i for i in range(0, n+1)] # 直方图x轴坐标
width = 0.35 # 直方图宽度
plt.xticks(x)
plt.bar(x, p, width, color='g') # 绘制直方图
plt.ylabel('Probability')
plt.xlabel('unit:100')
plt.title('Binomial Dristribution')
plt.show()执行结果：
[Running] python -u "c:\Users\a-xiaobodou\OneDrive - Microsoft\Projects\tempCodeRunnerFile.py"
销售 0 单位成功机率 0.09765625%
销售 1 单位成功机率 1.46484375%
销售 2 单位成功机率 8.7890625%
销售 3 单位成功机率 26.3671875%
销售 4 单位成功机率 39.55078125%
销售 5 单位成功机率 23.73046875%
[Done] exited with code=0 in 11.632 seconds
修改成功概率是0.35，然后n是10，计算可能销售0~10张考卷的概率，同时用图表列出结果。
import matplotlib.pyplot as plt
import math
def probability(k):
num = (math.factorial(n))/(math.factorial(n-k)*math.factorial(k))
pro = num * success**k * (1-success)**(n-k)
return pro
n = 10 # 销售次数 # 成功机率
success = 0.35 # 销售成功机率
fail = 1 - success # 销售失败机率
p = [] # 储存成功机率
for k in range(0,n+1):
if k == 0:
p.append(fail**n) # 连续n次失败机率
continue
if k == n:
p.append(success**n) # 连续n次成功机率
continue
p.append(probability(k)) # 计算其他次成功机率
for i in range(len(p)):
print('销售 {} 单位成功机率 {}%'.format(i, p[i]*100))
x = [i for i in range(0, n+1)] # 直方图x轴坐标
width = 0.35 # 直方图宽度
plt.xticks(x)
plt.bar(x, p, width, color='g') # 绘制直方图
plt.ylabel('Probability')
plt.xlabel('unit:100')
plt.title('Binomial Dristribution')
plt.show()执行结果：
[Running] python -u "c:\Users\a-xiaobodou\OneDrive - Microsoft\Projects\tempCodeRunnerFile.py"
销售 0 单位成功机率 1.3462743344628911%
销售 1 单位成功机率 7.24916949326172%
销售 2 单位成功机率 17.565295310595708%
销售 3 单位成功机率 25.221962497265626%
销售 4 单位成功机率 23.766849276269532%
销售 5 单位成功机率 15.35704107082031%
销售 6 单位成功机率 6.890979967675779%
销售 7 单位成功机率 2.120301528515624%
销售 8 单位成功机率 0.42813780864257794%
销售 9 单位成功机率 0.05123016513671872%
销售 10 单位成功机率 0.002758547353515623%
[Done] exited with code=0 in 9.087 seconds