最小二乘法在编程中的实现

最小二乘法在编程中的实现

一、说明

最近做项目的时候，需要用到最小二乘法，去拟合曲线，现在把在这个过程中的一些总结分享给大家。其中把一些实现和验证用到的内容也一起分享了，可能涉及到使用Matlab、C++、Python等分别实现的过程。

注：由于不是数学专业出身，可能在接下来的文章中，出现很多错误，烦请小伙伴们指正。特别是涉及到公式的书写和实现，由于自己的数学能力有限，难免会出现错误，请大家指正，我也跟着大家一起学习。特别是关于实现非线性的最小二乘法，这方面我的数学能力感觉就有点跟不上了。

二、最小二乘法的概念

最小二乘法，英文写法：least squares method，又叫最小平方法，是一种数学优化建模方法。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便的求得未知的数据，并使得求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法是对线性方程组，即方程个数比未知数更多的方程组，以回归分析求得近似解的标准方法。主要的应用是在曲线拟合上，最小二乘法所指的最佳拟合，即残差平方和的最小化。注：残差：观测值与模型提供的拟合值之间的差距。

                                                                图1- 回归分析

三、示例

 假设有四个点（x, y）:(1, 6 )，(2, 5 )，(3, 7 )，(4, 10 )，想要找出一条直线和这四个点比较匹配，。

 可以得到方程组：

a+1b=6

a+2b=5

a+3b=7

a+4b=10

最小二乘法采用的方法是尽量使得等号两边的平方差最小，也就是找出这个函数的最小值：

 最小值可以通过对S(a,b)分别对a,b分别求偏导数，然后是他们等于零：

 如此就得到了一个只有两个未知数的方程组

也就是说直线  是最佳的。

四、最小二乘问题分类

最小二乘问题分为两种：

1、线性（或普通的最小二乘法）

2、非线性最小二乘法

上面的分类，取决于在所有的未知数中的残差是否为线性。

线性的最小二乘问题发生在统计回归分析中，它有一个封闭形式的解决方案。非线性的问题通常经由迭代细致化来解决，在每次迭代中，系统由线性近似，因此在这两种情况下核心演算是相同的。

最小二乘法所得出的多项式，即以拟合曲线的函数来描述自变量与预计因变量的方差关系。

接下来的文章分享使用不同的工具，MATLAB、C++、Python去展示线性和非线性的最小二乘法的拟合。

下一篇：MATLAB中拟合线性方程(最小二乘法)

本文原创作者：冯一川（[email protected]），未经作者授权同意，请勿转载。