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泰勒公式及其在在计算方法中的应用.doc

泰勒公式在计算方法中的应用 作者姓名陈琳琳 河南理工大学数学与信息科学学院信息与计算科学专业2005级1班 摘要泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,同时它是求解高等数学问题的一个重要工具,在此结合例子简要讨论了泰勒公式在计算方法中的误差分析、函数值估测及近似计算、数值积分、常微分方程的数值解法中的应用。通过本文的论述,可知泰勒公式可以使数值问题的求解简便. 关键词泰勒公式;误差分析;近似计算;数值积分 1 引言 泰勒公式是高等数学中的一个重要公式,利用泰勒公式能将一些初等函数展成幂级数,进行函数值的计算;而且函数的Taylor公式是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将超越运算转化为整幂运算的手段,从而可将无理函数或超越函数的极限转化为有理式的极限而求解,有效简化计算.泰勒公式作为求解高等数学问题的一个重要工具,在计算方法中有重要的应用. 2泰勒(Taylor)公式 定理1 设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得 1 其中 (2) 公式(1)称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式,的表达式(2)称为拉格朗日型余项. 定理2 若函数在点存在直至阶导数,则有 3 公式3称为按的幂展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式,形如的余项称为佩亚诺型余项. 特别地在泰勒公式1中,如果取,则在0与之间,因此可令从而泰勒公式就变成比较简单的形式,即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Maclaurm)公式 (4) 在公式3中,如果取,则得带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 5 3 泰勒公式的求法 (1)带佩亚诺余项的泰勒公式的求法 只要知道在处n阶可导，就存在带佩亚诺余项的阶泰勒公式。 (1)直接求法通过求 而求得; 例如求等 (2)间接求法利用已知的泰勒公式，通过一些运算求得。 基本根据泰勒公式的唯一性。 设在处的阶可导，且 ① 。 ② 将①②式相减得 令 将上式两边同除以,令其余类似可得。 方法四则运算，变量替换，逐项积分 4 泰勒公式在计算方法中的应用 (4.1) 泰勒公式在误差估计中的应用 在研究学习过程中，由于物理问题的数学模型化或者可能是由于计算工作者的疏忽，绝大多数的数值计算结果都会有误差，通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差，同时减少计算的复杂程度。泰勒公式在误差估计中应用就显得十分突出。下面在具体例子中通过用泰勒公式和matlab进行比较，展示泰勒公式计算的方便与精确。 例1 设有，将被积函数展开为泰勒级数，并取前六项得 用代替被积函数时再积分所得的近似值 0.544977678571 且0.942561300.5，实际上近似真值时有4位有效数字。 ，曲线如图所示。 在编辑窗口输入如下命令 x00.011.5; y1expx.2; y21x.20.5*x.41/6*x.6; plotx,y1,x,y2; legendexpx.2,1x.20.5*x.41/6*x.6;grid 有限代替无限所产生的误差图 由图可知，泰勒公式在泰勒公式在误差估计中所产生截断误差非常小。 下例通过用泰勒公式求得的数值与实际数值之间的误差界，可知泰勒公式在误差计算中的精确度较高。 例2 估计近似公式 的绝对误差. 解 设,则因为 所以 带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为 从而 . (4.2)泰勒公式在函数值估测及近似计算中的应用 泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶导数相联系起来。 例3 设函数在上存在二阶导数,并且当时,有, 证明, . 证明 对 ,由泰勒公式, 将在展开为 将在展开为 两式相减得 从而有 所以 . 有了函数的幂级数展开式，就可用它来进行近似计算，即在展开式有效的区间上，函数值可以近似地利用这个技术按精确度要求计算出来的。 例4 求的近似值 解 令 ,则 所以 从而由公式(4) 1 故 从而 误差 (4.3) 泰勒公式在数值积分中的应用 设为的原函数，由牛顿莱布尼兹公式知，对定义在区间上的定积分，有 但是，并不是区间上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。如被积函数、等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。解法具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。 例5 计算定积分的近似值 解 因为 所以 因此 由此式得到 此时误差 . (4.4) 泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用 用解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定和初值的联立方程 给出初值 我们用如下形式表示一个和的联立方程组 6 求方程组6通过点的特解,其中已知.我们设想用一种逼近计算求出在下列各点处的近似值,其中为轴上选取的恰当步长. 现在,设在处,已求出的近似值,且表为 由泰勒公式可知 7 令,即可得出计算值的公式 8 其中 当给定了初值条件时,由方程8,令, 则得出 其中,在取近似值时的保留项数,取决于步长及所需的精确度. 当求出,后,再令,可求出,,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理. 为了说明以上方法,下面举个简单例子. 例6 求 的解,其初始条件为,处,. 解 首先,我们可选定步长,并依次计算等处的近似值,由逐次求导得出 , , , , 因此在处,有 ; 令,则方程组8给出 接着在处,有 令,由方程(3) 2.20520.21050.00550.00222.4214 . 2.20520.21050.00550.00222.4214 这个过程可以根据需要不断地重复进行. 例7 证明对任意参数,下列Runge-Kutta格式是二阶的 证明 因为 所以 把在处泰勒展开得 9 10 将 9 10带入泰勒展开式得 求在处的泰勒展开 将代入中得 将与泰勒展开做比较得 则知上述Runge-Kutta格式是二阶的. 应当指出，应用该方法从形式上看似简单，但具体构造这种格式往往是相当困难的，因为它需要先提供的各阶导数值。当阶数提高时，求导过程可能很复杂，因此该方法不直接使用，但是可以用它来启发思路。 致谢首先，我要感谢河南理工大学，感谢数信学院对我四年的培养，让我学到了许许多多的知识，感谢各位老师在这四年里对我的关怀与照顾，在此致以我深深的谢意。 本论文从选题到最后定稿成文，王振辉老师一直给予了悉心指导，王老师那种严谨求实的作风，广博深邃的洞察力，孜孜不倦的开拓精神和敬业精神令我深受启迪和教益，谨向我的指导老师王振辉老师致以深深的谢意。 我国古代有句成语叫做“管中窥豹，略见一斑”，本文也正是从泰勒公式定理入手，对泰勒公式在计算方法中的应用进行了分析和探讨。但是，由于笔者水平有限，在理论的描述、资料的运用等方面难免有不当、不深，不周之处，有些观点也尚欠成熟，敬请各位老师批评指正。 最后，我还要向所有曾经帮助过我的同学和朋友们致敬。你们的鼓励和帮助永远是我前进的动力。 参 考 文 献 [1] 同济大学应用数学系.高等数学[M].北京高等教育出版社, 2001. [2] 李福兴.泰勒公式的若干应用[J].梧州师专学报, 1997342-45. [3] 张雅琴.泰勒公式应用的探讨[J].天津成人高等学校联合报, 20021079-81. [4] 郭建萍.泰勒公式在数值法中的应用[J].华北矿业高等专科学校学报, 2001935-36. [5] 李庆扬,王能超,易大义.数值分析[M]. 武汉华中科技大学出版社, 2006. [6] 王素芳,陶荣,张永胜等.泰勒公式在计算及证明中的应用[J]. 洛阳工业高等学校 学报,20036 32-34. [7] 冯平,石永延.泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J].新疆职业大学学 报,200312 64-66. [8] 王翠霞.泰勒公式在“不定型”上的应用[J].重庆交通大学学报,2007823-25. [9] 丁凡.浅析泰勒公式的应用[J].数学通讯,20031356-58. [10] 斯瑜.泰勒公式在计算中的应用.兰州理工大学学报[J].20051013-16. [11] 张德丰.数值分析与应用[M].国防工业出版社，2007. [12] john H. Mathews kurtis D.Fink. 数值方法[M].电子工业出版社，2002. Taylor ula and The Application in Computational Chen Lin Lin Grade 2005, Major of Mathematics and Applied Mathematics， Iinstitute of Mathematics and Ination Science， Henan Polytechnic University Abstract Taylor ula is an important ula in advanced mathematics, and it is also an important tool for solving the problems in advanced mathematics .Here introduced briefly the application of Taylor ula in computational including error analysis ,estimation of functional value , approximate computation , numerical integration and numerical for ordinary differential equation . Through the exposition of this article,we found that it is simple to slove some numerical problems with Taylor ula. keywords Taylor ula; error analysis; approximate calculation; numerical integration