题目描述
这是 LeetCode 上的 886. 可能的二分法 ，难度为 中等。
Tag : 「二分图」、「染色法」、「并查集」、「DFS」
给定一组 n 人（编号为 1, 2, ..., n）， 我们想把每个人分进任意大小的两组。每个人都可能不喜欢其他人，那么他们不应该属于同一组。
给定整数 n 和数组 dislikes ，其中 $dislikes[i] = [a_i, b_i]$ ，表示不允许将编号为 $a_i$ 和 $b_i$ 的人归入同一组。当可以用这种方法将所有人分进两组时，返回 true；否则返回 false。
示例 1：
输入：n = 4, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,4]]
输出：true
解释：group1 [1,4], group2 [2,3]示例 2：
输入：n = 3, dislikes = [[1,2],[1,3],[2,3]]
输出：false示例 3：
输入：n = 5, dislikes = [[1,2],[2,3],[3,4],[4,5],[1,5]]
输出：false提示：
- $1 <= n <= 2000$
- $0 <= dislikes.length <= 10^4$
- $dislikes[i].length = 2$
- $1 <= dislikes[i][j] <= n$
- $a_i < b_i$
dislikes中每一组都 不同
染色法
无论是从题目描述和对点边的描述，这都是一道「染色法判定二分图」的模板题。
为了方便，我们令 dislikes 为 ds，将其长度记为 $m$。
题目要求我们将 $n$ 个点划分到两个集合中，同时我们将每个 $ds[i]$ 看做无向边的话，可知集合内部无边，即所有的边必然横跨两个集合之间。
使用 $ds[i]$ 进行建图，并将两个将要划分出的两个集合分别记为 A 和 B，我们可以采用「染色」的方式，尝试将所有点进行划分。
构建一个与点数相等的数组 color，我们人为规定划分到集合 A 的点满足 $color[i] = 1$，划分到集合 B 的点满足 $color[i] = 2$，起始有 $color[i] = 0$，代表该点尚未被划分。
随后我们可以实现 DFS 函数为 boolean dfs(int u, int cur) 含义为尝试将点 u 上 cur 色。根据定义可知，我们除了需要 color[u] = cur 以外，还需要遍历点 u 的所有出边（处理其邻点，将其划分到另一集合上），若在处理过程中发生冲突，则返回 false，若能顺利染色则返回 true。
由于我们固定了颜色编号为 1 和 2，因此 cur 的对立色可统一为 3 - cur。
最终，我们根据能否给所有点染色成功来决定答案。
Java 代码：
class Solution {
int N = 2010, M = 2 * 10010;
int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M], color = new int[N];
int idx;
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx++;
}
boolean dfs(int u, int cur) {
color[u] = cur;
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (color[j] == cur) return false;
if (color[j] == 0 && !dfs(j, 3 - cur)) return false;
}
return true;
}
public boolean possibleBipartition(int n, int[][] ds) {
Arrays.fill(he, -1);
for (int[] info : ds) {
int a = info[0], b = info[1];
add(a, b); add(b, a);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (color[i] != 0) continue;
if (!dfs(i, 1)) return false;
}
return true;
}
}TypeScript 代码：
const N = 2010, M = 2 * 10010
const he = new Array(N), e = new Array(M).fill(0), ne = new Array(M).fill(0), color = new Array(N)
let idx = 0
function add(a: number, b: number): void {
e[idx] = b
ne[idx] = he[a]
he[a] = idx++
}
function dfs(u: number, cur: number): boolean {
color[u] = cur
for (let i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) {
const j = e[i];
if (color[j] == cur) return false
if (color[j] == 0 && !dfs(j, 3 - cur)) return false
}
return true
}
function possibleBipartition(n: number, ds: number[][]): boolean {
he.fill(-1)
idx = 0
for (const info of ds) {
const a = info[0], b = info[1]
add(a, b); add(b, a)
}
color.fill(0)
for (let i = 1; i <= n; i++) {
if (color[i] != 0) continue
if (!dfs(i, 1)) return false
}
return true
} Python 代码：
class Solution:
def possibleBipartition(self, n: int, ds: List[List[int]]) -> bool:
N, M = 2010, 20010
he, e, ne, color = [-1] * N, [0] * M, [0] * M, [0] * N
idx = 0
def add(a, b):
nonlocal idx
e[idx], ne[idx], he[a] = b, he[a], idx
idx += 1
def dfs(u, cur):
color[u] = cur
i = he[u]
while i != -1:
j = e[i]
if color[j] == cur:
return False
if color[j] == 0 and not dfs(j, 3 - cur):
return False
i = ne[i]
return True
for info in ds:
a, b = info[0], info[1]
add(a, b)
add(b, a)
for i in range(1, n + 1):
if color[i] != 0:
continue
if not dfs(i, 1):
return False
return True- 时间复杂度：$O(n + m)$
- 空间复杂度：$O(n + m)$
反向点 + 并查集
我们知道对于 $ds[i] = (a, b)$ 而言，点 a 和点 b 必然位于不同的集合中，同时由于只有两个候选集合，因此这样的关系具有推断性：即对于 $(a, b)$ 和 $(b, c)$ 可知 a 和 c 位于同一集合。
因此，我们可以对于每个点 x 而言，建议一个反向点 x + n：若点 x 位于集合 A 则其反向点 x + n 位于集合 B，反之同理。
基于此，我们可以使用「并查集」维护所有点的连通性：边维护变检查每个 $ds[i]$ 的联通关系，若 $ds[i] = (a, b)$ 联通，必然是其反向点联通所导致，必然是此前的其他 $ds[j]$ 导致的关系冲突，必然不能顺利划分成两个集合，返回 false，否则返回 true。
Java 代码：
class Solution {
int[] p = new int[4010];
int find(int x) {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
void union(int a, int b) {
p[find(a)] = p[find(b)];
}
boolean query(int a, int b) {
return find(a) == find(b);
}
public boolean possibleBipartition(int n, int[][] ds) {
for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) p[i] = i;
for (int[] info : ds) {
int a = info[0], b = info[1];
if (query(a, b)) return false;
union(a, b + n); union(b, a + n);
}
return true;
}
}TypeScript 代码：
const p = new Array(4010).fill(0)
function find(x: number): number {
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])
return p[x]
}
function union(a: number, b: number): void {
p[find(a)] = p[find(b)]
}
function query(a: number, b: number): boolean {
return find(a) == find(b)
}
function possibleBipartition(n: number, ds: number[][]): boolean {
for (let i = 1; i <= 2 * n; i++) p[i] = i
for (const info of ds) {
const a = info[0], b = info[1]
if (query(a, b)) return false
union(a, b + n); union(b, a + n)
}
return true
} Python 代码：
class Solution:
def possibleBipartition(self, n: int, ds: List[List[int]]) -> bool:
p = [i for i in range(0, 2 * n + 10)]
def find(x):
if p[x] != x:
p[x] = find(p[x])
return p[x]
def union(a, b):
p[find(a)] = p[find(b)]
def query(a, b):
return find(a) == find(b)
for info in ds:
a, b = info[0], info[1]
if query(a, b):
return False
else:
union(a, b + n)
union(b, a + n)
return True- 时间复杂度：$O(n + m)$
- 空间复杂度：$O(n)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.886 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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