《量子信息与量子计算简明教程》第一章·基本概念(上)

从这一章开始，本专栏所涉及的内容包括但不仅限于 《量子信息与量子计算简明教程》陈汉武 这本教材，会在其内容及笔记的基础上进行相应的扩展。

  这一部分内容主要是介绍量子信息与量子计算的基本概念，包括量子信息、量子通信、量子加密、量子计算、量子逻辑门、量子信息编码以及经典计算机和量子计算机等基础知识。除此之外，还介绍了薛定谔的猫、EPR佯谬和贝尔态基与量子隐形传态的知识。

一、量子信息

  微观世界中所有的 微观粒子(电子、光子、原子等) 统称为 量子，微观客体间存在的相互干涉称为 量子相干性，包括量子叠加、量子纠缠、量子态不可克隆、“波粒二象性”等。

   量子信息是利用微观粒子的状态表示的信息。利用量子信息实现通信的过程是使每一个微观粒子通过自身的物理特性携带经典信息$0$和$1$的叠加信号后实现的数据传输的技术，一般情况下，称叠加得到的结果信号态为 量子比特。

  量子比特是量子信息的基本存储单元。一个量子比特的状态是一个二维复数空间的向量，它的两个极化状态$|0⟩$和$|1⟩$(狄拉克符号$|\cdot ⟩$也称为ket，表示列向量，$⟨\cdot |$也称为bra，表示行向量)对应于经典状态的$0$和$1$。不同于经典比特只能为$0$或$1$，一个量子比特可以随机地、连续地存在于状态$|0⟩$和$|1⟩$的任意叠加态上，即：$$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$$其中$\alpha$和$\beta$为复数，满足归一化要求：${\alpha }^{\ast }\alpha +{\beta }^{\ast }\beta =1$。需要注意的是${\alpha }^{\ast }$表示的是$\alpha$的共轭，例如$\alpha =a+bi$，那么${\alpha }^{\ast }=a-bi$。同理可以得到${\beta }^{\ast }$。

  对于这样的一个量子叠加态(或称量子比特)$|\psi ⟩$，如果我们直接对其进行测量的话，会导致$|\psi ⟩$以某个概率值坍缩到状态$|0⟩$或$|1⟩$上。对于$|\psi ⟩$而言，其坍缩到$|0⟩$的概率为$|\alpha {|}^2$，坍缩到$|1⟩$的概率为$|\beta {|}^2$。

  上述仅为单量子比特的表示，当有两个甚至多个量子比特的时候，情况会有些变化：此时需要引入张量积(也称直积)，符号表示为 $\otimes$。为了方便更好地理解什么是张量积，我们在这里以一个 $m$维向量和一个 $n$维向量 为例，它们的张量积为：
$$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{a}_1{b}_1\\ ⋮\\ a_1{b}_n\\ a_2{b}_1\\ ⋮\\ a_2{b}_n\\ ⋮\\ a_m{b}_n\end{array}\right]$$
不难看出，张量积运算的规则是前一个向量中的每个元素均与第二个向量整体进行数乘，得到的结果是一个$m\times n$维的向量。向量与矩阵、矩阵与矩阵之间的张量积以此类推。

  两个或多个量子态之间便是张量积的关系，比如态$|\psi ⟩$和$|\phi ⟩$的张量积可以记作$|\psi ⟩\otimes |\phi ⟩、|\psi ⟩|\phi ⟩、|\psi \phi ⟩$。具体来说，令$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$，$|\phi ⟩=|0⟩$，那么有：
$$|\psi ⟩\otimes |\phi ⟩=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩\right)|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|10⟩$$ 此时$|\psi ⟩\otimes |\phi ⟩$为叠加态。

  进一步，我们引入量子纠缠态的概念。量子纠缠状态指的是两个或多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内各子系统或各自由度之间关联的力学属性。这句话理解起来比较困难，但是我们有一种更加直观且明了的理解量子纠缠的方式。以上述例子为例，根据$\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|10⟩$，我们有
$$\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|10⟩=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩\right)|0⟩$$
即对于叠加态$\frac{1}{\sqrt{2}}|00⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|10⟩$，它可以表示为量子比特$(\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩)$与$|0⟩$的张量积。但是，当叠加态无法用各量子比特的张量积表示时，称这种叠加态为量子纠缠态。比如
$$\frac{1}{\sqrt{2}}|01⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|10⟩$$就不能写成两个量子比特的乘积，因此这就是一个量子纠缠态。

量子态的叠加特性和纠缠特性在量子信息理论中占有举足轻重的地位。

二、量子通信与量子加密的概念

  量子通信系统由量子态产生器、量子通道和量子接收设备组成。量子通信技术按其所传输的信息是经典还是量子而分为两类，前者主要用于量子密钥的传输，开发无法破译的密码；后者则是量子瞬间传输。

  量子密码技术用于建立和传送密码本，根据测不准原理，任何的测量都会立刻改变系统的状态，因此，任何窃听都会被发现，从而保证信息的安全。

三、量子计算的概念

  简单的说，量子计算是利用量子态进行信息处理的方法，其实体设备称为量子计算机。量子计算机的基本原理是通过量子力学的运用，将微晶体管压缩到原子般大小，然后在极小的面积上放入数十亿颗量子微晶体管，进而利用量子态的叠加性和相干性进行信息运算、保存及处理。

  量子计算机采用量子逻辑门电路构成运算组件。量子逻辑组件对应于数学上的一个幺正矩阵。量子并行处理就是对量子态的每一叠加分量进行幺正变换，所有这些变换在同一时刻一次完成，并按一定的概率幅叠加起来得出结果。

幺正矩阵

  幺正矩阵为满足条件$U^{†}U=U{U}^{†}=I$的方阵，其中$U^{†}$是$U$的厄米共轭矩阵，$U^{†}=(U^T{)}^{\ast }$。