矩阵十题（4）

经典题目4 VOJ1049

题目链接：https://vijos.org/p/1049

题目大意：顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：

置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。

注意：这m个置换对应的矩阵相乘的时候必须左乘

代码如下：

 

 1 #include<stdio.h>

 2 #include<string.h>

 3 #define N 110

 4 struct Matrix

 5 {

 6     int a[N][N];

 7 }origin,res,tmp,A,B,ans;

 8 int n;

 9 int op[N][N];

10 Matrix mul(Matrix x,Matrix y)

11 {

12     int i,j,k;

13     memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));

14     for(i=1;i<=n;i++)

15         for(j=1;j<=n;j++)

16             for(k=1;k<=n;k++)

17                 tmp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];

18     return tmp;

19 }

20 Matrix quickpow(Matrix B,int k)

21 {

22     int i;

23     memset(res.a,0,sizeof(res.a));

24     for(i=1;i<=n;i++)

25         res.a[i][i]=1;

26     while(k)

27     {

28         if(k&1)

29             res=mul(res,B);

30         B=mul(B,B);

31         k>>=1;

32     }

33     return res;

34 }

35 void print(Matrix B)

36 {

37     int i,j;

38     for(i=1;i<=n;i++)

39     {

40         for(j=1;j<=n;j++)

41             printf("%d ",B.a[i][j]);

42         printf("\n");

43     }

44     printf("+++++++++\n");

45 }

46 int main()

47 {

48     int m,i,k,j;

49     while(scanf("%d%d%d",&n,&m,&k)!=EOF)

50     {

51         memset(B.a,0,sizeof(B.a));

52         for(i=1;i<=n;i++)

53             B.a[i][i]=1;

54         for(i=1;i<=m;i++)

55         {

56             for(j=1;j<=n;j++)

57                 scanf("%d",&op[i][j]);

58             memset(A.a,0,sizeof(A.a));   //置换所对应的矩阵

59             for(j=1;j<=n;j++)

60                 A.a[j][op[i][j]]=1;

61             B=mul(A,B);       //左乘

62         //    print(B);

63         }

64         res=quickpow(B,k/m);   //执行k/m次

65         memset(origin.a,0,sizeof(origin.a));

66         for(i=1;i<=n;i++)   

67             origin.a[i][1]=i;

68         ans=mul(res,origin);   //乘以初始矩阵

69         if(k%m)        //将剩余的几步模拟

70         {

71             for(i=1;i<=k%m;i++)

72             {

73                 memset(A.a,0,sizeof(A.a));

74                 for(j=1;j<=n;j++)

75                     A.a[j][op[i][j]]=1;

76                 ans=mul(A,ans);

77             }

78         }

79         for(i=1;i<=n;i++)

80         {

81             printf("%d",ans.a[i][1]);

82             if(i<n)

83                 printf(" ");

84         }

85         printf("\n");

86     }

87     return 0;

88 }

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hdu  2371  Decode the Strings

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2371

题目大意：给出n 和m，给出n个数，代表一个置换，接着一个字符串s，s经过m次置换后变成另一个字符串，

现在给出经过m次置换后的字符串，输出原始字符串s

比如：5 3

        2 3 1 5 4

        hello

需经过3次置换，则"hello" -> "elhol" -> "lhelo" -> "helol"

思路：将置换规则取反（将p[i]位置上的数num[i]变成p[num[i]]上的数，例如，num:  2 3 1 5 4  变成  num:  3 1 2 5 4

                                                                                                         p: 1 2 3 4 5               p:  1 2 3 4 5  ）

然后将m次置换合并起来，即算出这m个置换的乘积（即origin^m)，然后乘以初始序列[1 2 3 4 ....n],然后输出对应位置的字符即可。

注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：

m次置换就相当于前面乘以m个这样的矩阵，用矩阵快速幂即可。

代码如下：

 1 #include<stdio.h>

 2 #include<string.h>

 3 #define N 100

 4 struct Matrix

 5 {

 6     int a[N][N];

 7 }res,tmp,origin,A,ans;

 8 int n;

 9 int p[N],num[N];

10 char s[N];

11 Matrix mul(Matrix x,Matrix y)

12 {

13     int i,j,k;

14     memset(tmp.a,0,sizeof(tmp.a));

15     for(i=1;i<=n;i++)

16         for(j=1;j<=n;j++)

17             for(k=1;k<=n;k++)

18                 tmp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];

19     return tmp;

20 }

21 void quickpow(int k)  //矩阵快速幂

22 {

23     int i;

24     memset(res.a,0,sizeof(res.a));

25     for(i=1;i<=n;i++)

26         res.a[i][i]=1;

27     while(k)

28     {

29         if(k&1)

30             res=mul(res,origin);

31         origin=mul(origin,origin);

32         k>>=1;

33     }

34 }

35 

36 int main()

37 {

38     int m,i;

39     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)

40     {

41         if(n==0&&m==0)

42             break;

43         for(i=1;i<=n;i++)

44             scanf("%d",&num[i]);

45         for(i=1;i<=n;i++)   //将置换取反

46             p[num[i]]=i;

47         memset(origin.a,0,sizeof(origin.a));  //将置换用矩阵表示

48         for(i=1;i<=n;i++)

49             origin.a[i][p[i]]=1;

50         getchar();

51         gets(s);

52         quickpow(m);   //乘以m次这样的矩阵

53         memset(A.a,0,sizeof(A.a));  //原始序列[1 2 3 4 5 ...n]

54         for(i=1;i<=n;i++)

55             A.a[i][1]=i;

56         ans=mul(res,A);   //与原始序列相乘

57         for(i=1;i<=n;i++)

58             printf("%c",s[ans.a[i][1]-1]);

59           //  printf("%d ",ans.a[i][1]);

60         printf("\n");

61     }

62     return 0;

63 }

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