poj 2942 Knights of the Round Table(点双连通分量+二分图判定)

题目链接：http://poj.org/problem?id=2942

题意：n个骑士要举行圆桌会议，但是有些骑士相互仇视，必须满足以下两个条件才能举行：

（1）任何两个互相仇视的骑士不能相邻，每个骑士有两个相邻的骑士（即如果只有一个骑士，则不能举行会议）

（2）圆桌会议坐下的骑士数量必须为奇数个

有一张名单列出m个相互仇视的骑士，如果遵守以上两个规则，可能是某些骑士不可能被安排坐下，一种情况是一个骑士仇视所有其他的骑士。如果一个骑士不可能被安排坐下，则将他从骑士名单中剔除，问有多少个骑士会被剔除掉。

1<=n<=100,1<=m<=1000000

 

分析：题目上好像是说所有不被剔除的骑士都要参加圆桌会议，我严重怀疑这道题的题意是不是不明确，要不然就是poj的数据有问题。所以我将这题的题意理解为：不一定要所有不被剔除的骑士都要参加圆桌会议，只需其中的一部分就行了，这样有些数据就能解释为什么了。

将骑士看成顶点，不互相仇视的骑士连边，建无向图，即建反图。构造无向图之后，先按要求（1），将所有能坐在一起的骑士分为一组，全部骑士分为若干组，每一组在图中是一个双连通分量。注意，这里我们要求的是点双连通分量，是点双，不是边双。为什么呢？因为我们是要剔除掉骑士，而骑士就是一个顶点了，并不是剔除掉仇恨关系，所以是点双。

每一个双连通分量就是一个环了，但是这只是找到了环，而题目要求的是顶点数为奇数的环，即奇圈。

 

那么怎么判断奇圈呢？这里有两个定理：

（1）如果一个双连通分量中存在一个奇圈，那么该双连通分量内的所有顶点都处在某个奇圈内。

 在一个双连通分量中，必定存在一个圈经过该连通分量的所有节点，如果这个圈是奇圈，则该连通分量内所有的点都满足条件；若这个圈是偶圈，如果包含奇圈，则必定有另一个奇圈经过由剩下的点或该奇圈内至少2个点及其边构成的环。

（2）一个双连通分量含有奇圈当且仅当它不是一个二分图。

 直观的想，对于一个二分图，从一个点出发要回到一个点显然要经过偶数个节点，所以肯定不存在奇圈。

 

所以判断一个双连通分量是否含有奇圈，只需判断该双连通分量是否是二分图就行了，而判二分图可以用交叉染色法。

交叉染色法就是在DFS过程中反复交换着用两种不同的颜色对未染色过的点染色，若某次DFS中当前点的子节点和当前节点同色，则找到奇圈。

想象一下二分图就像是河的两岸有两排节点，没染色一次就过河一次，那么相同颜色的节点必定在同一侧。一旦出现异侧有相同颜色的节点，就说明该图不是二分图了。

 

总结一下：首先求出图的补图，然后把点双连通分量找出，对于每个双连通分量判断是否为二分图，如果不是则将分量重的所有点标记，统计一下标记过的顶点个数ans，最后结果就是n-ans。

 

AC代码：

  1 #include<cstdio>

  2 #include<cstring>

  3 const int N=1000+5;

  4 struct EDGE{

  5     int v,next;

  6 }edge[N*N*2];

  7 int g,cnt,top,count,n,m;

  8 int first[N],low[N],dfn[N],sta[N*N*2],sm[N],map[N][N],color[N],part[N],mark[N];

  9 int min(int a,int b)

 10 {

 11     return a<b?a:b;

 12 }

 13 void AddEdge(int u,int v)     //建边

 14 {

 15     edge[g].v=v;

 16     edge[g].next=first[u];

 17     first[u]=g++;

 18 }

 19 int dfscol(int u,int col)   //交叉染色法

 20 {

 21     int i,v;

 22     color[u]=col;

 23     for(i=first[u];i!=-1;i=edge[i].next)

 24     {

 25         v=edge[i].v;

 26         if(!part[v])

 27             continue;

 28         if(color[v]==col)

 29             return 1;

 30         if(color[v]==0&&dfscol(v,-col))

 31             return 1;

 32     }

 33     return 0;

 34 }

 35 void color_solve()        //二分判定

 36 {

 37     int i;

 38     memset(part,0,sizeof(part));

 39     for(i=0;i<count;i++)

 40         part[sm[i]]=1;

 41     memset(color,0,sizeof(color));

 42     if(dfscol(sm[0],1))      //若含有奇圈

 43     {

 44         for(i=0;i<count;i++)

 45             mark[sm[i]]=1;

 46     }

 47 }

 48 void Tarjan(int u,int fa)    //求双连通分量

 49 {

 50     int i,v;

 51     low[u]=dfn[u]=++cnt;

 52     sta[top++]=u;

 53     for(i=first[u];i!=-1;i=edge[i].next)

 54     {

 55         v=edge[i].v;

 56         if(i==(fa^1))

 57             continue;

 58         if(!dfn[v])

 59         {

 60             Tarjan(v,i);

 61             low[u]=min(low[u],low[v]);

 62             if(low[v]>=dfn[u])

 63             {

 64                 count=0;          //将双连通分量记录起来。。刚开始这部分写错了，wa到死

 65                 sm[count++]=u;

 66                 sta[top]=-1;

 67                 while(sta[top]!=v)     //注意割点属于多个双连通分量，所以要弹到v，u不能弹出去

 68                 {

 69                     sm[count++]=sta[--top];

 70                 }

 71                 color_solve();     //判断该双连通分量是否为二分图

 72             }

 73         }

 74         else

 75             low[u]=min(low[u],dfn[v]);

 76     }

 77 }

 78 void solve()

 79 {

 80     int i,j,u,v;

 81     g=cnt=top=0;                 //初始化

 82     memset(low,0,sizeof(low));

 83     memset(dfn,0,sizeof(dfn));

 84     memset(first,-1,sizeof(first));

 85     memset(map,0,sizeof(map));

 86     memset(mark,0,sizeof(mark));

 87 

 88     for(i=0;i<m;i++)

 89     {

 90         scanf("%d%d",&u,&v);

 91         map[u][v]=map[v][u]=1;

 92     }

 93     for(i=1;i<=n;i++)         //建反图

 94         for(j=i+1;j<=n;j++)

 95         {

 96             if(!map[i][j])

 97             {

 98                 AddEdge(i,j);

 99                 AddEdge(j,i);

100             }

101         }

102     for(i=1;i<=n;i++)        //求双连通分量

103         if(!dfn[i])

104             Tarjan(i,-1);

105 

106     int ans=0;

107     for(i=1;i<=n;i++)       //统计已标记的顶点数

108         if(mark[i])

109             ans++;

110     printf("%d\n",n-ans);

111 }

112 int main()

113 {

114     while(scanf("%d%d",&n,&m))

115     {

116         if(n==0&&m==0)

117             break;

118         solve();

119     }

120     return 0;

121 }

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