详细介绍四叉树 Quadtrees

原理：什么是Quadtrees?
　　由于3D图形卡消费市场的变革，现在3D游戏越来越流行了，他们中大部分是第一人称射击游戏，这 是一个很好的理由，这个理由是室内环境，当和室外环境相比它非常简单。对于室外环境，它没有方便 的通往下一关的楼梯，门，或墙来阻挡你的视线。室外环境都是连续的。对于传统的几何学来说这是非 常棘手的，请打入quadtrees来学习下面的知识。
　　
　　注意：下面的图示都是从上到下看一个3D地形，方格显示了在X和Y轴上的地形，并看不见现 实中的物体高度，因为我们是顺着Y轴看的。


Figure 1

　　
　　设想你的地形是一个非常大的方格，在一个X和Z的面上扩展，如图1。我们有一个摄象机在地形的右 下角，它的可视截面（蓝三角）扩展为在相同方向上的小单元，这样在优化前，绘制地形的程序代码看 起来象这样:
　　
　　for(int ctr=0; ctr　　{
　　DrawCell();
　　}
　　
　　注意：一个小单元就是一个包含一些三角形的正方形，它是地形的一部分），看起来非常好，但是本 来我们只是占用了16个单元，可是画了256个。这是非常大的浪费，在我们的可视截面里只有5个单元。 现在第一个优化：我们要测试所有的单元是否在可视截面里，如果在就画他，现在的代码如下：
　　
　　for(int ctr=0; ctr　　{
　　if(cell is in frustum) DrawCell();
　　}
　　
　　如果单元在我们的可视截面中，就画他，非常正确。现在我们只画了5个单元，而不是256个，我们只 是更改很少的代码。在上面，我们保存了我们没有绘出的251个单元，每次都是，这是非常的浪费，如下图：


Figure 2

　　
　　我将一些单元变成了兰色，这样我们可以建立一个包围盒，如果兰色的单元不在截面内，我们可以安全 的说这个单元在区域A中，如果我们知道兰色的单元不在截面内，我们如何去测试区域A中的其他144个单元 呢，这由quadtrees 来工作
　　
　　quadtrees 是从地形中获得的，把它分割成四个较小的部分，每一个部分继续分下去，直到一个分到 一个设定的大小，这看起来有点乱，让我结合图片解释一下，首先，从我们的网格出发，现在将他分为四份。


Figure 3

如图三，我们现在有四个子地形，继续分下去，知道一个部分只有一个单元，，在下图中，我们把第一个 小部分分成了四个更小的部分。



Figure 4

　　
　　然后继续：


Figure 5

　　
　　然后继续：


Figure 6

好了，现在第一个部件只有一个单元大小，我们告诉树停止分割第一个部件，分割下一个，直到 全部分割完毕。当然你也可以将树分割到合适的三角形数目停止，在我们的例子中为16个三角形，第 一，这个树是父子关系，每个子节点有一个父节点，每个父节点有四个子节点，叶节点例外，他只有 一个父节点没有子节点。叶节点是我们允许的最小的子节点，第二，每个树都有一个根节点，它没有 父节点，但有四个子节点。
　　
　　再看一下图，暗红的边界就是根节点，在图3中，我们分割根节点，分配给他的子节点。蓝线描绘 的正方形是根节点的四个子。称为节点2，3，4，5。在图4 ，我们把节点2分为四份，这些正方形是 节点的子，称为节点6，7，8，9。继续由节点6分割出10，11，12，13，由节点10分割为14，15， 16，17。这是他们的叶节点。停止分割。分割节点11，分完后是12和13，然后是7，8，和9。然后是 3，4，5。完成。
　　
　　quadtrees 使用一个节点的包围坐标工作，我们说我们的图形0-16在X轴上，0-16在Z轴上。由于 这个原因，我们整个地图的包围坐标为左上为（0，0，0）右上（16，0，0）左下（0，0，16）右下 （16，0，16）当我们分割父节点时，我们就分割他的包围坐标，于是节点2的包围坐标为：左上 （0，0，0）右上（8，0，0）左下（0，0，8）右下（8，0，8）如图7.


Figure 7

　　
　　Test 1
　　方法如下：我们从根节点开始问“摄象机是否在根节点的包围坐标内？”我们说是。我们知道摄 象机在根节点的一个子节点内，于是测试他们，“摄象机在节点2的包围坐标内吗？”这里回答不， 于是我们离开节点2和它的子节点。这样我们就可以不用测试节点2的64个单元了，不坏，不坏。


Figure 8

　　
　　Test 2
　　你可以看图8，我移出了节点2和它的子节点。继续测试，“摄象机在节点3的包围坐标内吗？” ，回答不，于是我们可以安全的离开节点3和它的子节点。



Figure 9

　　
　　Test 3
　　继续“摄象机在节点4的包围坐标内吗？”回答不测试节点5。


Figure 10

Test 4
　　这时，摄象机在节点5的包围坐标内，我们测试它的子节点，我们给他的子节点命名为A，B，C，D， 测试第一个子节点“摄象机在节点A的包围坐标内吗？”如图10，不在，于是我们离开节点A和它的子节点。



Figure 11

　　
　　Test 5
　　现在测试节点5的第二个子节点，“摄象机在节点B的包围坐标内吗？”如图11。不在


Figure 12

　　
　　Test 6
　　现在测试节点5的第三个子节点，“摄象机在节点C的包围坐标内吗？”如图12。不在


Figure 13

　　
　　Test 7
　　OK，他一定在节点D中，“摄象机在节点D的包围坐标内吗？”，是的，太好了，我们将在这里停止。 考虑一下上面的测试，共有16次测试（节点D内），结果是有5个单元被看见，测试总数是7+16为23。 我们从256减少为23次。
　　
　　A quadtree is used to dismiss large chunks of terrain at a time. If an apple is on a tree's leaf, chopping off the branches the apple is nowhere near saves you looking on every leaf.
　　
　　编码
　　Before we go any further, I advise those who are unsure about Indexed Lists to read through my tutorial here.
　　
　　我们需要:
　　
　　一个保存我们QUADTREE数据的结构
　　一个建立树的函数
　　一个保存三角形数据的结构
　　typedef struct node
　　{
　　int bType;
　　VERTEX vBoundingCoordinates[4];
　　unsigned int uiBranches[4];
　　unsigned int uiVertexStrip1[8];
　　unsigned int uiVertexStrip2[8];
　　unsigned int uiVertexStrip3[8];
　　unsigned int uiVertexStrip4[8];
　　unsigned int uiID;
　　unsigned int uiParentID;
　　}NODE;
　　
　　变量bType告诉我们节点的类型，可以为NODE_TYPE or LEAF_TYPE，如果我们画树的话，他用 来作为一个标志告诉程序停止或画一些三角形（LEAF_TYPE），或继续向下解析树（NODE_TYPE）。 下一个变量是一个包含4个顶点的数组，他用来保存节点的包围坐标，VERTEX定义如下
　　
　　typedef struct vertex
　　{
　　float x,y,z;
　　}VERTEX;
　　
　　我们还有一个叫做uiBranches的数组，他保存了四个索引值，代表了节点的四个子节点，如果本 节点类型是LEAF_TYPE，就不使用。
　　
　　由于我们说每个叶节点保存16个多边形，这里有四个数组，名为uiVertexStrip1到uiVertexStrip4， 每个数组保存四个三角形。在本向导中，他们没被使用
　　
　　变量uiID保存了QUADTREE的节点ID，在我解释他以前，QUADTREE就如同一个节点的数组，这个ID就是 数组的索引
　　
　　T让我们看看最后一个变量，uiParentID，它是父节点的索引，让我们用自己的方法来遍历这棵树，对 于给定的节点，我们可以从它的父节点遍历到它的子节点，对于下面给定一个树，我们如何遍历他呢，
　　
　　NODE *pNodeList;
　　
　　这是一个pNodeList的指针，它是一个QUADTREE，注意：我们使用数组pNodeList[0] 作为根节点。


Formula 1.

　　
　　上面的公式给出了叶节点的数目，叶宽指的是每个叶的三角形数目，这里我们称叶节点为单元，也可以说每 个单元包含16个三角形，那么这里的叶宽为4个三角形，Grid Width 指的是格子的宽度，由于每个单元有4个 三角形，Grid Width 为16个单元乘以4是64，为了求出树中的节点数，使用下面的函数:
　　

这里函数CalcNodeNum 有两个参数，叶节点的数目（MAX）和叶宽（MIN），在这里叶宽为4 个三角形，叶节点的数目包含在上面的公式中，为了更好的理解上面的函数，给出下面的代码:
　　
　　unsigned int Temp =(GridWidth/4)*(GridWidth/4);
　　unsigned int Temp2 = CalcNodeNum(Temp,4);
　　
　　pNodeList = (NODE*)malloc(sizeof(NODE)*Temp2);
　　
　　首先计算叶节点的总数，其次保存节点的总数到变量Temp2，第三行是为指针分配内存，现在 我们已经技术了节点的总数并分配了内存，接着调用QUADTREE的建立函数。
　　
　　但是首先，让我们回忆一下递归的代码，如果我们想显示数目1到10，我们可以这样做：
　　
　　void Count(int num)
　　{
　　cout<　　}
　　
　　void main()
　　{
　　Count(0);
　　Count(1);
　　Count(2);
　　Count(3);
　　Count(4);
　　Count(5);
　　Count(6);
　　Count(7);
　　Count(8);
　　Count(9);
　　
　　return;
　　}
　　
　　这样做很乏味，可以这样
　　
　　for(int ctr=0;ctr<10;ctr++)
　　{
　　Count(ctr);
　　}
　　
　　虽然上面的代码没有任何错误，但在QUADTREE中使用他简直是噩梦，在上面我们调用了10次，如 果我们想调用20次，我们不得不告诉FOR循环使用20次，而递归只需要一次。他不需要FOR或WHILE结 构，正确的代码如下：
　　
　　void Count(int num)
　　{
　　static int ctr = 0;
　　
　　if(ctr>num)
　　{return;}
　　else
　　{
　　cout<　　ctr++;
　　Count(num);
　　}
　　}
　　
　　void main()
　　{
　　Count(ctr);
　　
　　return;
　　}
　　
　　现在让我们看看函数CreateNode，象它的名字一样，他用来建立节点，实际他不仅可以建立一个 节点，还可以建立整个树，我们只要调用函数一次，
　　
　　void CreateNode(unsigned int Bounding[4],unsigned int ParentID,unsigned int NodeID)
　　
　　在一个2D数组中扩展为高度为0的X和Z的面，为发现左上坐标，使用下面的公式

右上为:


左下



右下


　　数学并不困难，现在准备调用:
　　
　　unsigned int uiBoundingCoordinates[] =
　　{0,GridWidth,(GridHeight*(GridWidth+1)),((GridHeight)*(GridWidth+1))+GridWidth};
　　
　　CreateNode(uiBoundingCoordinates,0,0);
　　
　　父节点已经建立好了，我们可以通过CreateNode来工作了。.
　　
　　void CreateNode(unsigned int Bounding[4],unsigned int ParentID,unsigned int NodeID)
　　{
　　static unsigned int TotalTreeID = 0;
　　
　　unsigned int uiNodeType;
　　unsigned int uiWidth,uiHeight;
　　
　　OK，静态变量TotalTreeID保存了当前的节点数目，我们最后使用他来将子节点与他们的ID联系起 来，uiNodeType保存节点的类型，uiWidth,uiHeight保存节点的宽和高，由于我们传送的是包围坐 标，实际上我们并不知道节点的大小，我们使用uiWidth,uiHeight来告诉节点是叶节点还是普通节点 ，现在需要从包围坐标中获得uiWidth,uiHeight:
　　
　　uiWidth = fVerts[(Bounding[1]*3)] - fVerts[(Bounding[0]*3)];
　　uiHeight = fVerts[(Bounding[2]*3)+2] - fVerts[(Bounding[0]*3)+2];
　　
　　T这里假设fVerts是一个包含顶点列表的数组，每个顶点包含3个部件，X，Y，Z，如果我们有顶点的 索引，就可以获得指向这个顶点的指针，


Figure 14

　　
　　如同你看见的一样，索引0指向element[0]，element[0]是顶点0的X部件，依次类推。 现在，我们说我们的叶节点是4*4的三角形，这意味着叶宽为4三角形，由于我们知道节点的宽度（存储 在uiWidth），如果我们分割宽度的结果为2，那么意味着这个宽度为4，这个节点就是一个叶节点，
　　
　　if(0.5*uiWidth==2)
　　{
　　uiNodeType = LEAF_TYPE;
　　}
　　else
　　{
　　uiNodeType = NODE_TYPE;
　　}
　　
　　接着，我们想得到一个指向我们节点的指针，pNodeList包含所有我们的节点，我们需要选择一个。
　　
　　NODE *pNode = &pNodeList[NodeID];
　　
　　向节点内填充内容
　　
　　pNodeList[NodeID].uID = Whatever;
　　
　　我们可以简单的做:
　　
　　pNode->uiID = Whatever;
　　
　　用我们得到的值填充
　　
　　pNode->uiID = NodeID;
　　pNode->uiParentID = ParentID;
　　
　　pNode->vBoundingCoordinates[0].x = fVerts[(Bounding[0]*3)];
　　pNode->vBoundingCoordinates[0].y = fVerts[(Bounding[0]*3)+1];
　　pNode->vBoundingCoordinates[0].z = fVerts[(Bounding[0]*3)+2];
　　
　　pNode->vBoundingCoordinates[1].x = fVerts[(Bounding[1]*3)];
　　pNode->vBoundingCoordinates[1].y = fVerts[(Bounding[1]*3)+1];
　　pNode->vBoundingCoordinates[1].z = fVerts[(Bounding[1]*3)+2];
　　
　　pNode->vBoundingCoordinates[2].x = fVerts[(Bounding[2]*3)];
　　pNode->vBoundingCoordinates[2].y = fVerts[(Bounding[2]*3)+1];
　　pNode->vBoundingCoordinates[2].z = fVerts[(Bounding[2]*3)+2];

 

现在我们还没有处理叶节点，一旦我们分配了叶节点，我们将返回调用函数，在真实的世界里，你 或许希望得到一个指向数组或三角形的叶节点指针，如果你仔细看过NODE结构，你将注意变量 uiVertexStrip1...4，如果你愿意的话，可以在里面填充三角形，.
　　
　　if(uiNodeType == LEAF_TYPE)
　　{
　　return;
　　}
　　else
　　{
　　
　　下面，我们需要处理节点的子节点
　　
　　unsigned int BoundingBox[4];
　　TotalTreeID++;
　　pNode->uiBranches[0] = TotalTreeID;
　　
　　//Top-Left i.e. b[0]
　　BoundingBox[0] = Bounding[0];
　　//Between b[0] and b[1]
　　BoundingBox[1] = Bounding[0]+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
　　//[between b[0] and b[2]
　　BoundingBox[2] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2);
　　//middle of node
　　BoundingBox[3] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
　　
　　CreateNode(BoundingBox,NodeID,TotalTreeID);
　　
　　很简单，自己看吧，
　　
　　//******************************************************************************
　　
　　TotalTreeID++;
　　pNode->uiBranches[1] = TotalTreeID;
　　
　　// Between b[0] and b[1]
　　BoundingBox[0] = Bounding[0]+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
　　//Top-Right i.e. b[1]
　　BoundingBox[1] = Bounding[1];
　　//middle of node
　　BoundingBox[2] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
　　//between b[1] & b[3]
　　BoundingBox[3] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0]));
　　
　　CreateNode(BoundingBox,NodeID,TotalTreeID);
　　
　　//******************************************************************************
　　
　　TotalTreeID++;
　　pNode->uiBranches[2] = TotalTreeID;
　　
　　//between b[0] and b[2]
　　BoundingBox[0] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2);
　　//middle of node
　　BoundingBox[1] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
　　//Bottom-Left i.e. b[2]
　　BoundingBox[2] = Bounding[2];
　　//between b[2] and b[3]
　　BoundingBox[3] = Bounding[2]+((Bounding[3]-Bounding[2])/2);
　　
　　CreateNode(BoundingBox,NodeID,TotalTreeID);
　　
　　//******************************************************************************
　　
　　TotalTreeID++;
　　pNode->uiBranches[3] = TotalTreeID;
　　
　　//middle of node
　　BoundingBox[0] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2)+((Bounding[1]-Bounding[0])/2);
　　//between b[1] and b[3]
　　BoundingBox[1] = Bounding[0]+((Bounding[2]-Bounding[0])/2) + uiWidth;
　　//between b[2] and b[3]
　　BoundingBox[2] = Bounding[2]+((Bounding[3]-Bounding[2])/2);
　　//Bottom-Right i.e. b[3]
　　BoundingBox[3] = Bou

　　
　　pNode->vBoundingCoordinates[3].x = fVerts[(Bounding[3]*3)];
　　pNode->vBoundingCoordinates[3].y = fVerts[(Bounding[3]*3)+1];
　　pNode->vBoundingCoordinates[3].z = fVerts[(Bounding[3]*3)+2];
　　
　　pNode->bType = uiNodeType;