基于how-to-optimize-gemm初探矩阵乘法优化

1. 前言

这次，我们来聊一个轻松一点的话题，那就是给你一个矩阵A和一个矩阵B，使用矩阵乘法获得目标矩阵C，相信大家都不难写出下面的代码：

#define A( i, j ) a[ (i)*lda + (j) ]
#define B( i, j ) b[ (i)*ldb + (j) ]
#define C( i, j ) c[ (i)*ldc + (j) ]
// gemm C = A * B + C
void MatrixMultiply(int m, int n, int k, float *a, int lda, float *b, int ldb, float *c, int ldc)
{
    for(int i = 0; i < m; i++){
        for (int j=0; j<n; j++ ){    
            for (int p=0; p<k; p++ ){      
                C(i, j) = C(i, j) + A(i, p) * B(p, j);
            }
        }
    }
}

然后，上篇文章如何判断算法是否有可优化空间？已经测了这段代码在单核A53(上篇文章错写为A17，十分抱歉)上的gflops表现，这种实现的gflops只有硬件的2%-3%，是十分低效的，因此这篇文章就是基于https://github.com/flame/how-to-optimize-gemm这个工程，给大家介绍一下矩阵乘法有哪些可以优化的方法。

需要注意的是，这个工程是针对X86上的列主序程序，我这里主要是在移动端A53上进行测试，所以将代码对应修改成了arm指令集，并且修改为更加常见的行主序进行测试。

原始版本的gFlops测试结果如下图所示：

2. 优化之前的工作

在谈到优化之前，我们需要将前言中的那部分代码改成https://github.com/flame/how-to-optimize-gemm中类似的风格，这样便于对后面各种优化技巧代码的理解。改写风格后的代码如下：

#include 

#define A( i, j ) a[ (i)*lda + (j) ]
#define B( i, j ) b[ (i)*ldb + (j) ]
#define C( i, j ) c[ (i)*ldc + (j) ]

/* Routine for computing C = A * B + C */

/* Create macro to let X( i ) equal the ith element of x */

#define Y(i) y[ (i)*incx ]

void AddDot( int k, float *x, int incx,  float *y, float *gamma )
{
  /* compute gamma := x' * y + gamma with vectors x and y of length n.
     Here x starts at location x with increment (stride) incx and y starts at location y and has (implicit) stride of 1.
  */
 
  int p;

  for ( p=0; p<k; p++ ){
    *gamma += x[p] * Y(p);     
  }
}
void MY_MMult1( int m, int n, int k, float *a, int lda, 
                                    float *b, int ldb,
                                    float *c, int ldc )
{
  int i, j;
  for ( j=0; j<n; j+=1 ){        /* Loop over the columns of C */
    for ( i=0; i<m; i+=1 ){        /* Loop over the rows of C */
      /* Update the C( i,j ) with the inner product of the ith row of A
	 and the jth column of B */
    // for (int p=0; p
    //             C(i, j) = C(i, j) + A(i, p) * B(p, j);
    //         }
      AddDot( k, &A( i,0 ), lda, &B( 0,j ), &C( i,j ) );
    }
  }
}

考虑到排版和篇幅的原因，后面的优化部分只贴最核心的代码，完整代码请到https://github.com/BBuf/ArmNeonOptimization查看，也欢迎Star这本项目。

3. 内存对齐

这里设计到Cache的概念，我尝试简短的描述一下，为什么内存对齐是对Cache命中有好处的。注意，内存对齐的原则是：任何K字节的基本对象的地址必须都是K的倍数。

Cache，译为高速缓冲存储器，它可以更好的利用局部性原理，减少CPU访问主存的次数。这里需要再简单描述一下计算机的存储体系，在当代计算中存储器是分为不同层次的，越靠近CPU的存储器速度越快，制造成本也就越高，同时容量也越小。最靠近CPU的存储器是寄存器，它的制造成本最高，所以个数也很有限。第二靠近的是缓存(Cache)，同时缓存也是有分级的，有L1，L2，L3…等多个级别。再然后就是主存，即普通的内存。最后是本地磁盘。它们的容量以及访问时间如下图所示：

上面说Cache可以更好的利用局部性原理，所谓局部性原理就是优先从留CPU近的存储结构中去寻找当前需要查找的数据，加快数据访问速度从而减少程序中各个变量的存取时间。

关于Cache更多的概念可以参考一下文末的资料1，写得非常好。

“假设 cache line 为 32B。待访问数据大小为 64B，地址在 0x80000001，则需要占用 3 条 cache 映射表项；若地址在 0x80000000 则只需要 2 条。内存对齐变相地提高了 cache 命中率。” 假定kernel一次计算执行$4\times 4$ 大小的block, 根据MMult_4x4_7.c (https://github.com/flame/how-to-optimize-gemm/blob/master/src/MMult_4x4_7.c)和 MMult_4x4_8.c (https://github.com/flame/how-to-optimize-gemm/blob/master/src/MMult_4x4_8.c)代码，可以看出MMult_4x4_8.c使用了偏移量完成内存对齐。

这样我们就可以参考工程的MMult_1x4_3.c改写出一个FLOPs还不错的$4\times 1$分块的矩阵乘法，代码实现如下，为了缩短代码长度，隐去了注释，如果有什么疑问欢迎留言区讨论：

void AddDot1x4( int k, float *a, int lda,  float *b, int ldb, float *c, int ldc )
{
  int p;
  register float  c_00_reg,   c_01_reg,   c_02_reg,   c_03_reg, b_0p_reg;
  float  *ap0_pntr, *ap1_pntr, *ap2_pntr, *ap3_pntr; 
    
  ap0_pntr = &A( 0, 0 );
  ap1_pntr = &A( 1, 0 );
  ap2_pntr = &A( 2, 0 );
  ap3_pntr = &A( 3, 0 );

  c_00_reg = 0.0; 
  c_01_reg = 0.0; 
  c_02_reg = 0.0; 
  c_03_reg = 0.0;
 
  for ( p=0; p<k; p+=4 ){
    b_0p_reg = B( p, 0 );

    c_00_reg += b_0p_reg * *ap0_pntr++;
    c_01_reg += b_0p_reg * *ap1_pntr++;
    c_02_reg += b_0p_reg * *ap2_pntr++;
    c_03_reg += b_0p_reg * *ap3_pntr++;

    b_0p_reg = B( p+1, 0 );

    c_00_reg += b_0p_reg * *ap0_pntr++;
    c_01_reg += b_0p_reg * *ap1_pntr++;
    c_02_reg += b_0p_reg * *ap2_pntr++;
    c_03_reg += b_0p_reg * *ap3_pntr++;

    b_0p_reg = B( p+2, 0 );

    c_00_reg += b_0p_reg * *ap0_pntr++;
    c_01_reg += b_0p_reg * *ap1_pntr++;
    c_02_reg += b_0p_reg * *ap2_pntr++;
    c_03_reg += b_0p_reg * *ap3_pntr++;

    b_0p_reg = B( p+3, 0 );

    c_00_reg += b_0p_reg * *ap0_pntr++;
    c_01_reg += b_0p_reg * *ap1_pntr++;
    c_02_reg += b_0p_reg * *ap2_pntr++;
    c_03_reg += b_0p_reg * *ap3_pntr++;
  }

  C( 0, 0 ) += c_00_reg; 
  C( 1, 0 ) += c_01_reg; 
  C( 2, 0 ) += c_02_reg; 
  C( 3, 0 ) += c_03_reg;
}

void MY_MMult_1x4_8( int m, int n, int k, float *a, int lda, 
                                    float *b, int ldb,
                                    float *c, int ldc )
{
  int i, j;
  for ( j=0; j<n; j+=1 ){      
    for ( i=0; i<m; i+=4 ){    
      AddDot1x4( k, &A( i,0 ), lda, &B( 0,j ), ldb, &C( i,j ), ldc );
    }
  }
}

那么这个版本的gflops效果如何呢？单核A53测试结果如下：

可以看到最高的浮点峰值是原始版本的4倍，说明上面的优化是行之有效的。

接下来，我们将分块的策略从$1\times 4$扩展到$4\times 4$，代码实现如下：

void AddDot4x4( int k, float *a, int lda,  float *b, int ldb, float *c, int ldc )
{
  int p;
  register float 
       c_00_reg,   c_01_reg,   c_02_reg,   c_03_reg,  
       c_10_reg,   c_11_reg,   c_12_reg,   c_13_reg,  
       c_20_reg,   c_21_reg,   c_22_reg,   c_23_reg,  
       c_30_reg,   c_31_reg,   c_32_reg,   c_33_reg,
       a_0p_reg,
       a_1p_reg,
       a_2p_reg,
       a_3p_reg,
       b_p0_reg,
       b_p1_reg,
       b_p2_reg,
       b_p3_reg;

  float 
    /* Point to the current elements in the four rows of A */
    *a_0p_pntr, *a_1p_pntr, *a_2p_pntr, *a_3p_pntr;
  
  a_0p_pntr = &A( 0, 0);
  a_1p_pntr = &A( 1, 0);
  a_2p_pntr = &A( 2, 0);
  a_3p_pntr = &A( 3, 0);

  c_00_reg = 0.0;   c_01_reg = 0.0;   c_02_reg = 0.0;   c_03_reg = 0.0;
  c_10_reg = 0.0;   c_11_reg = 0.0;   c_12_reg = 0.0;   c_13_reg = 0.0;
  c_20_reg = 0.0;   c_21_reg = 0.0;   c_22_reg = 0.0;   c_23_reg = 0.0;
  c_30_reg = 0.0;   c_31_reg = 0.0;   c_32_reg = 0.0;   c_33_reg = 0.0;

  for ( p=0; p<k; p++ ){
    a_0p_reg = *a_0p_pntr++;
    a_1p_reg = *a_1p_pntr++;
    a_2p_reg = *a_2p_pntr++;
    a_3p_reg = *a_3p_pntr++;

    b_p0_reg = B( p, 0);
    b_p1_reg = B( p, 1);
    b_p2_reg = B( p, 2);
    b_p3_reg = B( p, 3);

    /* First row */
    c_00_reg += a_0p_reg * b_p0_reg;
    c_01_reg += a_0p_reg * b_p1_reg;
    c_02_reg += a_0p_reg * b_p2_reg;
    c_03_reg += a_0p_reg * b_p3_reg;

    /* Second row */
    c_10_reg += a_1p_reg * b_p0_reg;
    c_11_reg += a_1p_reg * b_p1_reg;
    c_12_reg += a_1p_reg * b_p2_reg;
    c_13_reg += a_1p_reg * b_p3_reg;

    /* Third row */
    c_20_reg += a_2p_reg * b_p0_reg;
    c_21_reg += a_2p_reg * b_p1_reg;
    c_22_reg += a_2p_reg * b_p2_reg;
    c_23_reg += a_2p_reg * b_p3_reg;

    /* Four row */
    c_30_reg += a_3p_reg * b_p0_reg;
    c_31_reg += a_3p_reg * b_p1_reg;
    c_32_reg += a_3p_reg * b_p2_reg;
    c_33_reg += a_3p_reg * b_p3_reg;
  }

  C( 0, 0 ) += c_00_reg;   C( 0, 1 ) += c_01_reg;   C( 0, 2 ) += c_02_reg;   C( 0, 3 ) += c_03_reg;
  C( 1, 0 ) += c_10_reg;   C( 1, 1 ) += c_11_reg;   C( 1, 2 ) += c_12_reg;   C( 1, 3 ) += c_13_reg;
  C( 2, 0 ) += c_20_reg;   C( 2, 1 ) += c_21_reg;   C( 2, 2 ) += c_22_reg;   C( 2, 3 ) += c_23_reg;
  C( 3, 0 ) += c_30_reg;   C( 3, 1 ) += c_31_reg;   C( 3, 2 ) += c_32_reg;   C( 3, 3 ) += c_33_reg;
}

然后再测一下gflops的表现：

现在gflops提升到了1.75gflops，性能看起来好了不少，但是仍然存在随着矩阵尺寸快速变大性能衰减的问题，这个问题请看第六节。

4. 向量化SIMD

一个比较显然的优化是在k维度计算的时候可以使用Neon指令集进行优化，由于之前这个专栏中的文章已经讲得非常多了，这里不再赘述，贴一下在MMult_4x4_8版本基础上的核心修改部分：

void AddDot4x4( int k, float *a, int lda,  float *b, int ldb, float *c, int ldc )
{
  float 
    *a_0p_pntr, *a_1p_pntr, *a_2p_pntr, *a_3p_pntr;

  a_0p_pntr = &A(0, 0);
  a_1p_pntr = &A(1, 0);
  a_2p_pntr = &A(2, 0);
  a_3p_pntr = &A(3, 0);

  float32x4_t c_p0_sum = {0};
  float32x4_t c_p1_sum = {0};
  float32x4_t c_p2_sum = {0};
  float32x4_t c_p3_sum = {0};

  register float
    a_0p_reg,
    a_1p_reg,   
    a_2p_reg,
    a_3p_reg;

  for (int p = 0; p < k; ++p) {
    float32x4_t b_reg = vld1q_f32(&B(p, 0));

    a_0p_reg = *a_0p_pntr++;
    a_1p_reg = *a_1p_pntr++;
    a_2p_reg = *a_2p_pntr++;
    a_3p_reg = *a_3p_pntr++;

    c_p0_sum = vmlaq_n_f32(c_p0_sum, b_reg, a_0p_reg);
    c_p1_sum = vmlaq_n_f32(c_p1_sum, b_reg, a_1p_reg);
    c_p2_sum = vmlaq_n_f32(c_p2_sum, b_reg, a_2p_reg);
    c_p3_sum = vmlaq_n_f32(c_p3_sum, b_reg, a_3p_reg);
  }

  float *c_pntr = 0;
  c_pntr = &C(0, 0);
  float32x4_t c_reg = vld1q_f32(c_pntr);
  c_reg = vaddq_f32(c_reg, c_p0_sum);
  vst1q_f32(c_pntr, c_reg);

  c_pntr = &C(1, 0);
  c_reg = vld1q_f32(c_pntr);
  c_reg = vaddq_f32(c_reg, c_p1_sum);
  vst1q_f32(c_pntr, c_reg);

  c_pntr = &C(2, 0);
  c_reg = vld1q_f32(c_pntr);
  c_reg = vaddq_f32(c_reg, c_p2_sum);
  vst1q_f32(c_pntr, c_reg);

  c_pntr = &C(3, 0);
  c_reg = vld1q_f32(c_pntr);
  c_reg = vaddq_f32(c_reg, c_p3_sum);
  vst1q_f32(c_pntr, c_reg);
}

经过这个优化我们再测试一下当前版本(MMult_4x4_10)的gflops表现：

在矩阵长宽小于200时是有明显提升的，且最高的浮点峰值提升到了2.5gflops，说明这个优化在矩阵规模不大时是比较有用的。

5. 为什么需要分块&以及什么是分块？

前面的两个关键的优化在矩阵规模变大之后gflops就快速衰减，这是为什么呢？

这就和第3节讲到的计算机存储体系结构有关了，如Fig6所示。当我们的AB矩阵的大小比L2 Cache小时，我们的程序只需要从RAM中读取一次AB大小的内存，然后A,B矩阵的数据都可以被塞进Cache中。但是随着矩阵的大小增大，当AB矩阵的大小超过了L2 Cache时，由于行主序情况下的B矩阵或者列主序下的A矩阵不是内存连续的，那么程序就要从RAM读取多次AB矩阵的数据，这样数据存取将成为整个程序gflops上升的瓶颈。

因此，为了解决上一问题，gemm论文提出了矩阵分块的做法，直击核心，这篇论文针对矩阵乘法主要提出了下面6种不同的分块计算方法，如下图所示：

这个图中透漏了两个非常重要的点。

第一个是行主序下的A的一行乘以一列获得C的元素这个过程（A*B=C，其中A矩阵大小为$m\times k$，B矩阵大小为$k\times n$，C矩阵大小为$m\times n$）可以等价为A 的一列和 B 的一行操作得到 $m\times n$ 大小的一个 C 的“扇面”，多个“扇面”叠加就是完整的 C。所以这里的分块策略指的并不是在原始矩阵的长宽维度上分段计算，而是类似于一个z轴上拆分的思路，比较巧妙，所谓z轴就是垂直于矩阵长宽的维度。可以参考MMult_4x4_10的代码进行理解。

从MMult_4x4_10的结果来看，这个改进后的版本在矩阵规模变大时gflops也要好于之前的各个版本。另外为了验证上面的想法（当AB矩阵的大小超过了L2 Cache时，由于行主序情况下的B矩阵或者列主序下的A矩阵不是内存连续的，那么程序就要从RAM读取多次AB矩阵的数据，这样数据存取将成为整个程序gflops上升的瓶颈），我又做了一个对比试验，即在上面的z轴$4\times 4$分块的版本下进一步对行列两个方向也进行分块，设置的步长和how-to-optimize-gemm一致，即：

#define mc 256 
#define kc 128

void InnerKernel( int m, int n, int k, float *a, int lda, 
                                       float *b, int ldb,
                                       float *c, int ldc )
{
  int i, j;

  for ( j=0; j<n; j+=4 ){        /* Loop over the columns of C, unrolled by 4 */
    for ( i=0; i<m; i+=4 ){        /* Loop over the rows of C */
      /* Update C( i,j ), C( i,j+1 ), C( i,j+2 ), and C( i,j+3 ) in
	 one routine (four inner products) */

      AddDot4x4( k, &A( i,0 ), lda, &B(0, j), ldb, &C( i,j ), ldc );
    }
  }
}

void MY_MMult_4x4_11( int m, int n, int k, float *a, int lda, 
                                    float *b, int ldb,
                                    float *c, int ldc ) 
{
  int i, p, pb, ib; 
  for (p = 0; p < k; p += kc) {
    pb = min(k - p, kc);
    for (i = 0; i < m; i += mc) {
      ib = min(m - i, mc);
      InnerKernel(ib, n, pb, &A(i, p), lda, &B(p, 0), ldb, &C(i, 0), ldc);
    }
  }
}

然后我们再测一下这个版本(MMult_4x4_11)的gflops：

对比一下4x4_10的结果可以发现，在矩阵规模变大时，这个版本的gflops又好了不少，说明分块的确是利用Cache的一个好办法，毕竟Cache的容量是非常有限的。

在Figure4中透漏的第二个非常重要的点就是数据重排，也即数据Pack，之前我已经讲到2次这个技巧了，在这个矩阵乘法优化中同样适用。因为我们分块后的AB仍然是内存不连续的，为了提高内存的连续性，在做矩阵乘法之前先对A，B做了数据重排，将第二行要操作的数放在第一行的末尾，这样Neon中的数据预取指令将会生效，极大提高数据存取效率。基于这个想法获得了改进后的版本MMult_4x4_13.c，代码实现见：https://github.com/BBuf/ArmNeonOptimization/blob/master/optimize_gemm/MMult_4x4_13.h

测一下gflops：

可以看到相对于MMult_4x4_11 在矩阵规模变大时，这个版本的gflops提升明显，已经不会比这个版本的最高浮点峰值低太多了，说明这个优化是十分有效果的。

6. 总结

这篇文章讲到的优化方法都是有理论支撑的，也就是第5节展示的gemm论文中的那个Figure4。gemm论文我打算放到我后面的文章中进行解读，另外会再分享一些优化程度更大的算法，感兴趣的请关注一下我们的公众号，谢谢。

7. 参考

• https://blog.csdn.net/qq_21125183/article/details/80590934
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/65436463
• https://www.cs.utexas.edu/users/pingali/CS378/2008sp/papers/gotoPaper.pdf
• https://github.com/flame/how-to-optimize-gemm
• https://github.com/tpoisonooo/how-to-optimize-gemm

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