欧拉公式简单证明

欧拉公式表示如下:
e i θ = c o s θ + i s i n θ . e^{i\theta}=cos{\theta}+isin{\theta}. eiθ=cosθ+isinθ.
下面采用一种简单的方法进行证明,构造一个theta的函数如下:
f ( θ ) = e i θ / ( c o s θ + i s i n θ ) f(\theta)=e^{i\theta}/(cos{\theta}+isin{\theta}) f(θ)=eiθ/(cosθ+isinθ)
可以发现
f ( 0 ) = e i ∗ 0 / ( c o s 0 + i s i n 0 ) = 1 f(0)=e^{i*0}/(cos{0}+isin{0})=1 f(0)=ei0/(cos0+isin0)=1
对其求导,可以发现其导数恒为0
f ′ ( θ ) = ( ( e i θ ) ′ ( c o s θ + i s i n θ ) + ( e i θ ) ( c o s θ + i s i n θ ) ′ ) / ( c o s θ + i s i n θ ) 2 = 0 f'(\theta)=((e^{i\theta})'(cos{\theta}+isin{\theta})+(e^{i\theta})(cos{\theta}+isin{\theta})')/(cos{\theta}+isin{\theta})^2=0 f(θ)=((eiθ)(cosθ+isinθ)+(eiθ)(cosθ+isinθ))/(cosθ+isinθ)2=0
这说明f(theta)是一个常数,故:
f ( θ ) = f ( 0 ) = 1 f(\theta)=f(0)=1 f(θ)=f(0)=1
所以得
e i θ = c o s θ + i s i n θ . e^{i\theta}=cos{\theta}+isin{\theta}. eiθ=cosθ+isinθ.
上面只是证明欧拉公式,并不是推导。

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