matlab中证明欧拉公式,欧拉公式及其引伸的证明

欧拉公式及其引伸的证明

(2011-03-01 20:33:46)

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一,设I和O分别是△ABC的内心和外心,r和R分别是内切圆和外接圆的半径,求证IO2=R2-2Rr.二,若△ABC的三个内角不等,则三个傍切圆的圆心到O的距离不等.三,若P

为锐角△ABC内任一点,D和d分别是P到△ABC周界上点的距离的最大值和最小值,则D>=2d,问在什么条件下D=2d?

一,证明:连结AI并延长交圆O于K,连BK,BI,可证得角KBI=1/2(角A+角B)=角KIB,故IK=BK=2Rsin(角A/2),显然AI=r/sin(角A/2),故AI*IK=2Rr,由圆幂定理,AI*IK=R2-OI2,故OI2=R2-2Rr.

二,证明:设O1为角A内的傍切圆圆心,则O1必在AI的延长线上,可证得角AO1B=90度-1/2(角A+角B)=角KBO1,故O1K=BK=IK,设O1O=x,O1K=y,则由圆外一点的割线定理得(x-R)(x+R)=y(AI+2y)=2Rr+2y2又y=2Rsin(角A/2),故x2=R2+2Rr+8R2[sin(角A/2)]2,故傍切圆心到外接圆心的距离只与相关角有关,且三角形内若两角不等,则角的一半的正弦值不等,故结论正确.

三,证明:由题设,易知:r>=d,D>=R,又IO2=R2-2Rr=R(R-2r)>=0,故R>=2r,从而D>=2d;因为只有在正三角形中,R=2r,且只有当P为正三角形重心时d=r,D=R,故只有当P为正三角形重心时,D=2d.注:

若傍切圆O1的半径为r1,显然AO1=r1/sin(A/2),故可由割线定理求出OO1的平方=R2+2Rr1.我们可用R,r,r1表示角A的半角正弦值为根下(r1-r)/4R.

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