python实现牛顿法_牛顿迭代法Python实现

python实现牛顿法_牛顿迭代法Python实现_第1张图片

例1:给定方程$$f(x) = x^2 + sin x - 1 = 0$$,判别该方程有几个实根,并用牛顿法求出方程所有实根,精确到$$10^{-4}$$.

解:利用画图法观察根的所在区间为(-2,-1)和(0,1),其中蓝色为$$y=f(x)$$的曲线,橘黄色的直线是$$y=0$$.



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画图代码:import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def fun(x):

return x**2 + np.sin(x) - 1

def plotCurves():

x = np.linspace(-3, 3, 100)

y = fun(x)

y1 = 0.*x

plt.plot(x,y)

plt.plot(x,y1)

def main():

plotCurves()

if __name__ == '__main__':

main()

另外一种观察方法是,将原来的函数分解为$$y=sin x$$和$$y=1-x^2$$两个函数,然后观察它们的交点,如下图所示:import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def plotCurves2():

x = np.linspace(-3, 3, 100)

y1 = np.sin(x)

y2 = 1 - x**2

plt.plot(x,y1)

plt.plot(x,y2)

def main():

plotCurves2()

if __name__ == '__main__':

main()

python实现牛顿法_牛顿迭代法Python实现_第3张图片

下面分别以-2和0为初值,用牛顿法求解根。由于$$f(x)=x^2 + sin(x) -1$$,因此$$f'(x) = 2 x + cos(x)$$.# -*- coding: utf-8 -*-

"""

给定方程f(x) = x^2 + sin x - 1 = 0,判别该方程有几个实根,并用牛顿法求出方程所有实根,精确到1e-4.

@author: morxio

"""

import numpy as np

def fun(x):

'''函数f(x)'''

return x**2 + np.sin(x) - 1

def dfun(x):

"""函数的导函数f'(x)"""

return 2 * x + np.cos(x)

def newton(x0, eps1, eps2, N):

"""

牛顿迭代法x = x - f(x)/f'(x)

x0:初值, N:最大迭代次数

eps1:根误差限,eps2:函数误差限

返回方程的根

"""

for k in range(0,N,1):

x = x0 - fun(x0) / dfun(x0)

print(x)

if np.abs(x) < 1:

if np.abs(x-x0) < eps1 or np.abs(fun(x)) < eps2:

print(f"经过{k:d}次迭代,初值为{x0:f}的根为{x:.6f}, 此时函数值为{fun(x):.6f}")

return (x,k, fun(x))

else:

if np.abs(x-x0)/np.abs(x) < eps1 or np.abs(fun(x)) < eps2:

print(f"经过{k:d}次迭代,初值为{x0:f}的根为{x:.6f}, 此时函数值为{fun(x):.6f}")

return (x,k, fun(x))

x0 = x

print(f"迭代超过{N:d}次,迭代失败")

def main():

newton(0.0, 1e-4, 1e-4, 1000)

newton(-2.0, 1e-4, 1e-4, 1000)

if __name__ == '__main__':

main()

结果:第0步: 相邻迭代步根误差为: 1.000000

第1步: 相邻迭代步根误差为: 0.331248

第2步: 相邻迭代步根误差为: 0.031684

第3步: 相邻迭代步根误差为: 0.000335

经过3次迭代,初值为0.637068的根为0.636733, 此时函数值为0.000000

第0步: 相邻迭代步根误差为: 0.473422

第1步: 相邻迭代步根误差为: 0.110144

第2步: 相邻迭代步根误差为: 0.006784

第3步: 相邻迭代步根误差为: 0.000026

经过3次迭代,初值为-1.409650的根为-1.409624, 此时函数值为0.000000

例2:构造计算$$\sqrt{C}, C>0$$的牛顿迭代公式,并计算$$\sqrt{115}$$的近似值,计算结果精确到$$10^{-5}$$.# -*- coding: utf-8 -*-

"""

构造计算sqrt{C}, C>0的牛顿迭代公式,并计算sqrt{115}的近似值,计算结果精确到1e-5.

@author: morxio

"""

import numpy as np

C = 115

x0 = 10

N = 1000

EPS = 1e-5

def fun(x):

'''函数f(x)'''

return x**2 - C

def dfun(x):

"""函数的导函数f'(x)"""

return 2 * x

def newton(x0, EPS, N):

"""

牛顿迭代法x = x - f(x)/f'(x)

x0:初值, N:最大迭代次数, eps:根误差限

"""

for k in range(0,N,1):

x = x0 - fun(x0) / dfun(x0)

print(x)

if np.abs(x) < 1:

if np.abs(x-x0) < EPS:

print(f"经过{k+1:d}次迭代,初值为{x0:f}的根为{x:.6f}, 此时函数值为{fun(x):.6f}")

return (x,k, fun(x))

else:

if np.abs(x-x0)/np.abs(x) < EPS:

print(f"经过{k+1:d}次迭代,初值为{x0:f}的根为{x:.6f}, 此时函数值为{fun(x):.6f}")

return (x,k, fun(x))

x0 = x

print(f"迭代超过{N:d}次,迭代失败")

def main():

newton(x0, EPS, N)

if __name__ == '__main__':

main()

结果:10.75

10.723837209302326

10.723805294811097

经过3次迭代,初值为10.723837的根为10.723805, 此时函数值为0.000000

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