统计信号处理基础 习题解答6-3

题目：

考虑一个在例6.2中描述的估计问题，但现在假设噪声样本是相关的，协方差矩阵为：

其中 ,矩阵的维数N为偶数。 是块对角矩阵，所以很容易求逆。求BLUE和它的方差，并解释你的结果。

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解答：

根据例6.2的结果：

因此，核心问题是需要求

根据书中附录1：A1.1.3矩阵运算和公式中分块矩阵性质：

那么

 

此时，当, 时

因此， 

如果将C 分块为：

其中

所以可以得到：

其中

 

而由于 为N*1列向量,因此 计算了 所有元素的和， 所有元素的和为 ，而 中有 个 ，因此：

 如果令 ，其中

由于 , 其中

因此：

 

因此：

讨论：

1. 观测量两两合并后，得到的协方差矩阵仅在对角线上包含B ，因此合并后的向量 不相关，因此可以用平均获得MVU；
2. 考虑 ，此时的讨论在习题3.9和4.11中已经获得结论，即噪声样本相关的情况下，仍然可以用平均的方式获得MVU，因此最终可以通过样本平均 获得 的BLUE估计（也是MVU估计）
3. 当 时，噪声样本不相关，此时BLUE的方差为 ，和例题6.1一致；
4. 当 时，噪声样本完全相关，也就是观测量两两完全一样，此时BLUE的方差为 ，本质上仅有 个不相关的观测样本
5. 当 时，观测样本间的噪声两两抵消，因此两个观测样本相加再平均可以直接抵消噪声，此时

和本题目相关在两道习题的解答可以参考

统计信号处理基础 习题解答3-9_weixin_43270276的博客-CSDN博客

统计信号处理基础 习题解答4-11_weixin_43270276的博客-CSDN博客