Pytorch实现的卷积算子
又搬来一个 虽然很少直接用torch了
首先介绍计算图的自动求导方法，然后对卷积运算中Kernel和Input的梯度进行了推导，之后基于Pytorch实现了卷积算子并做了正确性检验。
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推导卷积运算各个变量的梯度公式；
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学习如何扩展Pytorch算子，自己实现了一个能够forward和backward的卷积算子；
代码GitHub仓库：https://github.com/dragonylee/myDL/blob/master/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%B5%8B%E8%AF%95.ipynb。
计算图
计算图（Computational Graphs）是torch.autograd自动求导的理论基础，描述为一个有向无环图（DAG），箭头的方向是前向传播（forward）的方向，而逆向的反向传播（backward）的过程可以很方便地对任意变量求偏导。为了方便说明，这里举一个简单的例子：
根据链式求导法则我们可得:
在Pytorch（Python）里定义上述三个函数：
def square(x):
return x ** 2
def mul3(x):
return x * 3
def mul_(x, y):
return x * y
然后用torchviz可视化其复合函数的计算图：
x = torch.tensor(3., requires_grad=True, dtype=torch.float)
y = torch.tensor(2., requires_grad=True, dtype=torch.float)
a = square(x) # a=x^2
b = mul3(a) # b=3a
c = mul_(b, y) # c=by
torchviz.make_dot(c, {"x": x, "y": y, "c": c}).view()
得到如下结果：
忽略“Accumulate”这个操作，在该计算图上的反向求导过程表示如下：
这很清晰地展示了计算图的功能，它记录了每一个变量（包括输出、中间变量）的计算函数（可以称之为一个算子，就是图中的方框，入边是输入，出边是输出），从而可以数值计算出相应的导数。实际上，任何变量qqq对ppp求导都可以对两者之间的反向链路进行累乘得到。
对输出调用.backward()后，可以查看导数值：
c.backward()
print(y.grad)
print(x.grad)
输出结果和上图的计算结果一致。注意在backward过程中非叶子节点可以调用.retain_grad()来记录grad。
以前我一直以为自动求导是一个很复杂的操作，没想到一个计算图就非常简洁地实现了，才发现“我以为”的复杂操作其实是形式化的求导……
卷积运算与梯度推导
本文所涉及的卷积运算是最平凡的卷积运算，不包含stride, padding, dilation, bias等。定义卷积运算
如何实现卷积？
input_unf = nn.Unfold(kernel_size=K)(input)
在这里就可以直接用Einstein求和标记将卷积运算写出来了：
代码为
output = torch.einsum("ijklm,njk->inlm", input_unf, kernel_view)
如何计算梯度
这部分求导的推导是我自己在草稿纸上完成的，后面经过一些验证应该或许可以保证是正确的。
为了方便推导，先不考虑batch和channel，也就是Input, Kernel, Output都是二维的。
Kernel的梯度
根据链式求导法则我们可以将此导数（偏导）写作
也就是说，Kernel的梯度，就是以Output的梯度作为卷积核，对Input卷积的结果。
Input的梯度
同样，Input的梯度可以写作
自定义卷积算子
本文的一个很大目的，就是让我自己学会怎么扩展Pytorch的算子，从官方文档了解到，需要实现一个继承torch.autograd.Function的函数，并且实现forward和backward静态函数，才能适应Pytorch的自动求导框架，有一些需要注意的细节：
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forward和backward函数的第一个参数都是ctx，就是context的意思，与self类似，一般如果在backward过程中要用到forward的参数，在forward时就要调用ctx.save_for_backward()保存起来； -
forward有多少个输入，backward就要有多少个输出，这个看计算图就能明白了，如果不需要求梯度的入边，可以返回None；
梯度求解
前面在定义卷积运算时，都是考虑了Batch和Channel的，而在推导对Input和Kernel的梯度时，却为了方便没有考虑这两个参数。实际上在实现时，要特别注意每个数据的view的每个维度之间的关系。
例如我这里定义的：
input_ = torch.transpose(input, 0, 1)
grad_output_ = torch.transpose(grad_output, 0, 1)
grad_weight = MyConv2dFunc.conv2d(input_, grad_output_).transpose(0, 1)
求Input的梯度也是类似。
代码
class MyConv2dFunc(torch.autograd.Function):
@staticmethod
def conv2d(input: Tensor, kernel: Tensor) -> Tensor:
"""
卷积运算
Output = Input * Kernel
:param input: Tensor[B, Cin, N, N]
:param kernel: Tensor[Cout, Cin, K, K]
:return: Tensor[B, Cout, M, M], M=N-K+1
"""
B = input.shape[0]
Cin = input.shape[1]
N = input.shape[2]
Cout = kernel.shape[0]
K = kernel.shape[2]
M = N - K + 1
input_unf = nn.Unfold(kernel_size=K)(input)
input_unf = input_unf.view((B, Cin, -1, M, M))
kernel_view = kernel.view((Cout, Cin, K * K))
output = torch.einsum("ijklm,njk->inlm", input_unf, kernel_view)
return output
@staticmethod
def forward(ctx, input, weight):
ctx.save_for_backward(input, weight)
output = MyConv2dFunc.conv2d(input, weight)
return output
@staticmethod
def backward(ctx, grad_output):
input, weight = ctx.saved_tensors
grad_input = grad_weight = None
if grad_output is None:
return None, None
if ctx.needs_input_grad[0]:
# 反卷积
gop = nn.ZeroPad2d(weight.shape[2] - 1)(grad_output)
kk = torch.rot90(weight, 2, (2, 3)) # 旋转180度
kk = torch.transpose(kk, 0, 1)
grad_input = MyConv2dFunc.conv2d(gop, kk)
if ctx.needs_input_grad[1]:
input_ = torch.transpose(input, 0, 1)
grad_output_ = torch.transpose(grad_output, 0, 1)
grad_weight = MyConv2dFunc.conv2d(input_, grad_output_).transpose(0, 1)
return grad_input, grad_weight
正确性验证
torch.autograd.gradcheck提供了检验梯度运算正确性的工具，它的原理是，给定输入，用你写的算子的backward计算一个output和input的雅各比矩阵，然后再用有限差分的方法计算一个数值解，然后对比这两个结果是否一致。 whaosoft aiot http://143ai.com
验证上面的MyConv2dFunc算子的正确性：
input = (torch.rand((2, 4, 10, 10), requires_grad=True, dtype=torch.double),
torch.rand((6, 4, 5, 5), requires_grad=True, dtype=torch.double))
test = torch.autograd.gradcheck(MyConv2dFunc.apply, input)
print(test)
输出为True。
自定义卷积层模型
需要继承nn.Module，并且用nn.Parameter保存权重，也就是卷积核。还要实现forward方法。
class MyConv2d(nn.Module):
def __init__(self, in_channels, out_channels, kernel_size: tuple):
super(MyConv2d, self).__init__()
self.in_channels = in_channels
self.out_channels = out_channels
self.kernel_size = kernel_size
# Parameters
self.weight = nn.Parameter(torch.empty(out_channels, in_channels, kernel_size[0], kernel_size[1]))
nn.init.uniform_(self.weight, -0.1, 0.1)
def forward(self, x):
return MyConv2dFunc.apply(x, self.weight)
def extra_repr(self):
return 'MyConv2d: in_channels={}, out_channels={}, kernel_size={}'.format(
self.in_channels, self.out_channels, self.kernel_size
)
基于MNIST的测试
使用的卷积神经网络模型为LeNet：
CNN(
(layer1): Sequential(
(0): Conv2d(1, 32, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1))
(1): ReLU()
(2): Conv2d(32, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1))
(3): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True)
(4): ReLU()
(5): MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2, padding=0, dilation=1, ceil_mode=False)
)
(flatten): Flatten(start_dim=1, end_dim=-1)
(fc): Sequential(
(0): Linear(in_features=9216, out_features=256, bias=True)
(1): ReLU()
(2): Linear(in_features=256, out_features=10, bias=True)
)
)
任务是对MNIST手写体数字进行分类。
首先用Pytorch自带的Conv、Linear这些网络层搭建然后训练，然后把网络中的Conv2d替换为我写的MyConv2d做同样的训练，得到的结果如下（5个epoch, CUDA）：
| Accuracy | time cost(s) | |
|---|---|---|
| nn.Conv2d | 99.2% | 33.72 |
| MyConv2d | 99.1% | 76.49 |