三角化得到空间点的三维信息(深度值)

一.三角化得到空间点的三维信息(深度值)

(1)三角化的提出

三角化最早由高斯提出，并应用于测量学中。简单来讲就是：在不同的位置观测同一个三维点P(x, y, z)，已知在不同位置处观察到的三维点的二维投影点X₁(x₁, y₁), X₂(x₂, y₂)_，利用三角关系，恢复出三维点的深度信息z。

(2)三角化公式

按照对极几何中的定义，设x₁, x₂为两个特征点的归一化坐标，则它们满足：

s₁x₁ = s₂Rx₂ + t                                                                公式(1)

=> s₁x₁ - s₂Rx₂ = t                                                            公式(2)

对公式(2)左右两侧分别乘以x_1^T，得：

s₁x₁^Tx₁ - s₂x₁^TRx₂ = x₁^T t                                                  公式(3)

对公式(2)左右两侧分别乘以(Rx₂)^_T，得：

s₁(Rx₂)^Tx₁ - s₂(Rx₂)^TRx₂ = (Rx₂)^T t                                     公式(4)

由公式(3)和公式(4)可以联立得到一个一元二次线性方程组，然后可以利用Cramer‘s法则（参见线性代数书）进行求解。

如下是对应的代码（如果大家感觉不易读懂，可以先跳过这段代码，等看完理论部分再返回来看不迟）

 1     // 方程
 2     // d_ref * f_ref = d_cur * ( R_RC * f_cur ) + t_RC
 3     // => [ f_ref^T f_ref, -f_ref^T f_cur ] [d_ref] = [f_ref^T t]
 4     //    [ f_cur^T f_ref, -f_cur^T f_cur ] [d_cur] = [f_cur^T t]
 5     // 二阶方程用克莱默法则求解并解之
 6     Vector3d t = T_R_C.translation();
 7     Vector3d f2 = T_R_C.rotation_matrix() * f_curr; 
 8     Vector2d b = Vector2d ( t.dot ( f_ref ), t.dot ( f2 ) );
 9     double A[4];
10     A[0] = f_ref.dot ( f_ref );
11     A[2] = f_ref.dot ( f2 );
12     A[1] = -A[2];
13     A[3] = - f2.dot ( f2 );
14     double d = A[0]*A[3]-A[1]*A[2];
15     Vector2d lambdavec = 
16         Vector2d (  A[3] * b ( 0,0 ) - A[1] * b ( 1,0 ),
17                     -A[2] * b ( 0,0 ) + A[0] * b ( 1,0 )) /d;
18     Vector3d xm = lambdavec ( 0,0 ) * f_ref;
19     Vector3d xn = t + lambdavec ( 1,0 ) * f2;
20     Vector3d d_esti = ( xm+xn ) / 2.0;  // 三角化算得的深度向量
21     double depth_estimation = d_esti.norm();   // 深度值

(3)求解深度的另外两种方法

a.利用叉乘进行消元进行求解

由

s₁x₁ = s₂Rx₂ + t                                                                公式(1)

左右两边同时乘以x₁的反对称矩阵，可得：

s₁x_1^{^}x₁ = 0 = s₂x_1^{^}Rx₂ + x_1^{^}t                                           公式(2)

由上式可解得s₂，将s₂代入公式(1)，可求得s₁

b.利用Mid Point Method进行求解(Hartley大名鼎鼎的《Multiple View Geometry》中有讲解)

从此图中我们可以知道，理想情况下O₁P和O₂P会相交于空间中的一点，但是由于图像分辨率以及噪声的存在，实际的情况更可能是上图所描述的那样：O₁P和O₂P在空间中没有交点，这时我们需要找到一个O₁P与O₂P之间的公垂线，然后取其上的中点作为我们重建出的三维点，此即为Mid Point Method，具体的推导及公式请参看Hartley的《Multiple View Geometry》。【需要将上面的图想象的立体一些】

 

附：

1.Cramer‘s 法则：

如果A的行列式不为0， Ax=b可以通过如下行列式进行求解：

 矩阵B_j为A的第j列被b替换后得到的新的矩阵。

 

二.三角化得到的三维信息中深度的误差

(1)三角化中误差分析

如上图所示：

P为空间中的一个三维点，p₁和p₂分别为在两个位置处，摄像机观察到的投影的二维点坐标。

l₂为p₁在第二幅图中所对应的极线（极线的概念请参考立体视觉中的对极几何，这里不再赘述）。

 

现在，我们要探讨的是：

如果我们在l₂进行极线搜索时，所找到的p_2^‘点与真实的p₂点有一个像素的误差，那么会给三角化后的三维点P的深度z带来多大的误差？

 

首先，根据上图，我们可以得到向量之间的关系，以及三角化中的两个夹角的定义：

a = p - t                公式(1)

α = arccos    公式(2)

β = arccos   公式(3)

其中，a, p, t均为向量，α和β为图中所示的两个夹角。

如果此时，我们求取的p_2^‘点与p₂点有一个像素的偏差，同时，这一个像素的偏差又会给β带来δβ的角度变化，我们利用β‘来表示对β进行δβ扰动后的新的角度。

设相机的焦距为f，则：

公式(4):

公式(5):

公式(6):

至此，加入扰动后的所有新的角度我们都求出来了。

由正弦定理（a/sinA=b/sinB=c/sinC），我们可以得到：

公式(7):

则由第二个位置上的二维点的一个像素的误差，可能导致的三角化后深度的误差为：

 δp = ||p|| - ||p‘||

 这里的δp其实也正是深度的一个均方差（不确定度σ_obs），这个不确定度是我们后面要介绍的深度滤波器的一个很重要的概念，深度滤波器的目的也正是要不断减小这个不确定度，使得深度的不确定度最后能够收敛到一个能够接受的值。

(2)三角化中误差的来源

上面分析了第二幅图中的特征点p₂的误差是如何影响三角化后的深度值的。 

下面，我们来指出三角化的误差来源有哪几方面：

a.图像的分辨率：图像的分辨率越高，一个像素所带来的δβ就越小。

b.特征点求取时的精度：是否做到亚像素，在亚像素的基础上，误差有多大？

c.p₁点的误差：会引起极线l₂的误差，从而间接地影响p₂点的精度。

d.相机两次位置的平移向量t的大小：t的模的大小也代表了对极几何中的基线长度，由公式(7)可以看出基线长度越大，三角化的误差越小。

 所以，这也体现出来了三角化的矛盾：若想提高三角化的精度，其一提高特征点的提取精度，即提高图像的分辨率，但这会导致图像的增大，增加计算成本；其二，使平移量增大，但这会导致图像外观的明显变化，外观变化会使得特征提取与匹配变得困难。总而言之，平移太大，会导致匹配失效；平移太小，三角化精度不够。

(3)如何减小三角化所带来的误差

根据【(2)三角化中误差的来源分析】中所分析的一些因素可知，要想减小三角化过程中引入的误差，可以有如下几个方法：

a.选取尽可能高分辨率的相机。

b.进行亚像素的优化（比如在极线搜索时对像素点坐标进行双线性插值）

// 双线性灰度插值 
inline double getBilinearInterpolatedValue( const Mat& img, const Vector2d& pt ) 
{
    uchar* d = & img.data[ int(pt(1,0))*img.step+int(pt(0,0)) ];
    double xx = pt(0,0) - floor(pt(0,0)); 
    double yy = pt(1,0) - floor(pt(1,0));
    return  (( 1-xx ) * ( 1-yy ) * double(d[0]) +
            xx* ( 1-yy ) * double(d[1]) +
            ( 1-xx ) *yy* double(d[img.step]) +
            xx*yy*double(d[img.step+1]))/255.0;
}

（关于双线性插值，这篇文章做了比较清晰的讲解：http://blog.163.com/guohuanhuan_cool@126/blog/static/167614238201161525538402/）

c.同样使用亚像素级的图像处理算法来处理p₁点。

d.在不丢失特征点的情况下，让平移量t尽量大。

 

由上面的公式推导我们可以看出，三角化中，必须要有平移量t，否则无法构成三角形，进行三角化。所以在有些单目的SLAM，AR/VR的场景中，有经验的人都会有意识地将设备或者相机进行一定量的平移，而不会在原地进行纯旋转。

 

三.深度滤波器的原理及实现

介绍的是比较简单的高斯分布假设下的深度滤波器。

高斯分布是自然界中最常见的一种分布形式，并且也符合绝大部分的自然情况。简单起见，我们先假设三角化后恢复的深度值符合高斯分布。

对于像素点的深度值d，满足：P(d) = N(μ，σ²)

每当新的数据过来，我们就要利用新的观测数据更新原有的深度d的分布。

这里的数据融合的方式与经典的Kalman滤波方式大同小异。这里，我们利用观测方程进行信息融合。

假设新计算出来的深度数据的分布为：P(d_obs) = N(μ_obs，σ_obs²)

我们将新计算出来的深度数据乘在原来的分布上，进行信息融合，得到融合后的高斯分布：P(d_fuse) = N(μ_fuse, σ_fuse²)

（两个高斯分布的乘积还是高斯分布）。其中，

这里的μ_obs，σ_obs²该如何才能得到呢？

这里的μ_obs实际上就是每次我们新三角化出来的深度值，而对于σ_obs²，就是上面提到的 δp（不确定度σ_obs）。

那么原始的分布μ，σ²该如何得到呢？

这个很简单，第一次三角化出来的μ，σ²就可以作为初始值，然后每次新三角化出一个三维点，就去更新深度值的分布。

 

至此，我们似乎得到了一个不错的结果：既简单又优美的公式。

实际上还会存在什么问题呢？

（1）实际的深度值分布是否真的符合高斯分布？

（2）如果我们中间过程有一次三角化的过程求错了，并且还进行了信息融合，会有什么后果？

（3）我们如何避免第二个问题中所提出的情况？

四.极限搜索与块匹配

 

左边的相机观测到了某个像素，由于是个单目相机，我们无法知道其深度，所以假设深度可能在某个区域内，不妨说是某个最小值到无穷，即该像素对应的空间点对应在本图中的d射线。在右相机，这条线段的投影也形成图像平面上的一条线，也就是我们称的极线。问题：极线上的哪一点才是我们对应的点呢？

在特征点中，我们通过特征匹配找到了的位置，然而现在我们没有描述子，所以在极线上搜索与长的相似的点，我们可能沿着右图中的极线从一头走到另一头，逐个比较每个像素与的相似程度。从直接比较像素的角度来看，和直接法是异曲同工的。但在直接法中，我们发现比较单个像素点的亮度并不是稳定可靠的，万一极线上有很多与相似的点，我们如何确定哪一个是真实的呢？所以，既然单个像素的亮度没有区分性，我们来比较像素块，在周围取一个w*w的像小块，然后在极线上也取很多同样大小的小块进行比较，在一定程度上提高区分性，这就是块匹配。

我们把周围的小块记成 ，在极线上的n个小块 。小块与小块之间的差异，用NNC（归一化互相关）来计算，计算的是两小块之间的相关性：

 

相关性0，表示图像不相似；相关性1，表示图像相似；

主函数：                                                                              update：

                                 

 

 1 bool update(const Mat& ref, const Mat& curr, const SE3& T_C_R, Mat& depth, Mat& depth_cov )
 2 {
 3 #pragma omp parallel for
 4     for ( int x=boarder; x(y)[x] < min_cov || depth_cov.ptr(y)[x] > max_cov ) // 深度已收敛或发散
10                 continue;
11             // 在极线上搜索 (x,y) 的匹配 
12             Vector2d pt_curr; 
13             bool ret = epipolarSearch ( 
14                 ref, 
15                 curr, 
16                 T_C_R, 
17                 Vector2d(x,y), 
18                 depth.ptr(y)[x], 
19                 sqrt(depth_cov.ptr(y)[x]),
20                 pt_curr
21             );
22             
23             if ( ret == false ) // 匹配失败
24                 continue; 
25             
26             // 取消该注释以显示匹配
27             // showEpipolarMatch( ref, curr, Vector2d(x,y), pt_curr );
28             
29             // 匹配成功，更新深度图 
30             updateDepthFilter( Vector2d(x,y), pt_curr, T_C_R, depth, depth_cov );
31         }
32 }

 

 极线搜索：

 

 1 // 极线搜索
 2 // 方法见书 13.2 13.3 两节
 3 bool epipolarSearch(
 4     const Mat& ref, const Mat& curr, 
 5     const SE3& T_C_R, const Vector2d& pt_ref, 
 6     const double& depth_mu, const double& depth_cov, 
 7     Vector2d& pt_curr )
 8 {
 9     Vector3d f_ref = px2cam( pt_ref );
10     f_ref.normalize();
11     Vector3d P_ref = f_ref*depth_mu;    // 参考帧的 P 向量
12     
13     Vector2d px_mean_curr = cam2px( T_C_R*P_ref ); // 按深度均值投影的像素
14     double d_min = depth_mu-3*depth_cov, d_max = depth_mu+3*depth_cov;
15     if ( d_min<0.1 ) d_min = 0.1;
16     Vector2d px_min_curr = cam2px( T_C_R*(f_ref*d_min) );    // 按最小深度投影的像素
17     Vector2d px_max_curr = cam2px( T_C_R*(f_ref*d_max) );    // 按最大深度投影的像素
18     
19     Vector2d epipolar_line = px_max_curr - px_min_curr;    // 极线（线段形式）
20     Vector2d epipolar_direction = epipolar_line;        // 极线方向 
21     epipolar_direction.normalize();
22     double half_length = 0.5*epipolar_line.norm();    // 极线线段的半长度
23     if ( half_length>100 ) half_length = 100;   // 我们不希望搜索太多东西 
24     
25     // 取消此句注释以显示极线（线段）
26     // showEpipolarLine( ref, curr, pt_ref, px_min_curr, px_max_curr );
27     
28     // 在极线上搜索，以深度均值点为中心，左右各取半长度
29     double best_ncc = -1.0;
30     Vector2d best_px_curr; 
31     for ( double l=-half_length; l<=half_length; l+=0.7 )  // l+=sqrt(2) 
32     {
33         Vector2d px_curr = px_mean_curr + l*epipolar_direction;  // 待匹配点
34         if ( !inside(px_curr) )
35             continue; 
36         // 计算待匹配点与参考帧的 NCC
37         double ncc = NCC( ref, curr, pt_ref, px_curr );
38         if ( ncc>best_ncc )
39         {
40             best_ncc = ncc; 
41             best_px_curr = px_curr;
42         }
43     }
44     if ( best_ncc < 0.85f )      // 只相信 NCC 很高的匹配
45         return false; 
46     pt_curr = best_px_curr;
47     return true;
48 } 

深度滤波器：

 

 

bool updateDepthFilter(
    const Vector2d& pt_ref, 
    const Vector2d& pt_curr, 
    const SE3& T_C_R,
    Mat& depth, 
    Mat& depth_cov
)
{
    // 用三角化计算深度
    SE3 T_R_C = T_C_R.inverse();
    Vector3d f_ref = px2cam( pt_ref );
    f_ref.normalize();
    Vector3d f_curr = px2cam( pt_curr );
    f_curr.normalize();
    
    // 方程
    // d_ref * f_ref = d_cur * ( R_RC * f_cur ) + t_RC
    // => [ f_ref^T f_ref, -f_ref^T f_cur ] [d_ref] = [f_ref^T t]
    //    [ f_cur^T f_ref, -f_cur^T f_cur ] [d_cur] = [f_cur^T t]
    // 二阶方程用克莱默法则求解并解之
    Vector3d t = T_R_C.translation();
    Vector3d f2 = T_R_C.rotation_matrix() * f_curr; 
    Vector2d b = Vector2d ( t.dot ( f_ref ), t.dot ( f2 ) );
    double A[4];
    A[0] = f_ref.dot ( f_ref );
    A[2] = f_ref.dot ( f2 );
    A[1] = -A[2];
    A[3] = - f2.dot ( f2 );
    double d = A[0]*A[3]-A[1]*A[2];
    Vector2d lambdavec = 
        Vector2d (  A[3] * b ( 0,0 ) - A[1] * b ( 1,0 ),
                    -A[2] * b ( 0,0 ) + A[0] * b ( 1,0 )) /d;
    Vector3d xm = lambdavec ( 0,0 ) * f_ref;
    Vector3d xn = t + lambdavec ( 1,0 ) * f2;
    Vector3d d_esti = ( xm+xn ) / 2.0;  // 三角化算得的深度向量
    double depth_estimation = d_esti.norm();   // 深度值
    
    // 计算不确定性（以一个像素为误差）
    Vector3d p = f_ref*depth_estimation;
    Vector3d a = p - t; 
    double t_norm = t.norm();
    double a_norm = a.norm();
    double alpha = acos( f_ref.dot(t)/t_norm );
    double beta = acos( -a.dot(t)/(a_norm*t_norm));
    double beta_prime = beta + atan(1/fx);
    double gamma = M_PI - alpha - beta_prime;
    double p_prime = t_norm * sin(beta_prime) / sin(gamma);
    double d_cov = p_prime - depth_estimation; 
    double d_cov2 = d_cov*d_cov;
    
    // 高斯融合
    double mu = depth.ptr( int(pt_ref(1,0)) )[ int(pt_ref(0,0)) ];
    double sigma2 = depth_cov.ptr( int(pt_ref(1,0)) )[ int(pt_ref(0,0)) ];
    
    double mu_fuse = (d_cov2*mu+sigma2*depth_estimation) / ( sigma2+d_cov2);
    double sigma_fuse2 = ( sigma2 * d_cov2 ) / ( sigma2 + d_cov2 );
    
    depth.ptr( int(pt_ref(1,0)) )[ int(pt_ref(0,0)) ] = mu_fuse; 
    depth_cov.ptr( int(pt_ref(1,0)) )[ int(pt_ref(0,0)) ] = sigma_fuse2;
    
    return true;
}

相信有了上面的流程图，加上前面几章的理论铺垫，你能够比较轻松地看懂这些代码了。祝你阅读代码愉快！