[zz]稳定婚姻问题(The Stable Marriage Problem)

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原文：http://rocwood.blogbus.com/logs/1415501.html

嘿，对面的不要笑，不要看啦，就是你！正在看本帖的那个！这里说的可不是什么社会家庭问题哦，而是一个很有趣的数学问题，请耐心一点点下面的[阅读全文]从头到尾看一遍，可以从中发现很多GG追MM或者MM追GG的门道哟，xixi

今天刚研究的一个ACM/ICPC题目，叫做“稳定婚姻问题(The Stable Marriage Problem)”大致说的就是100个SSGG和100个PPMM按照自己的喜欢程度给所有异性打分排序。每个帅哥都凭自己好恶给每个MM打分：我最爱a，其次爱b，再次爱c...每个帅哥打的分不同，你最爱的可能是我最讨厌的我最爱的可能是他不甚喜欢的。同样，每个美女也同样给每个帅哥打分。现在需要给他们搭配出100对新郎新娘，并且要保证所得到是稳定婚姻的搭配。那么，什么是不稳定的婚姻呢？所谓不稳婚姻是说, 比如说有两对夫妇(M1、F1)和(M2、F2)，M1的老婆是F1，但他更爱F2；而F2的老公虽说是M2，但她更爱M1——这样的婚姻就是不稳婚姻，M1和F2理应结合，他们现在各自的婚姻都是错误。

那么，我们如何找到一个算法来构造这100个稳定婚姻呢？这个是数学界切切实实研究过的问题。对于以前没有接触过这个问题的人，这个理论最出人意外的结论是: 传统的求爱、结婚过程是male-optimal（男生主动）的，也就是说，男性能够得到尽可能好的心上人，女性却不然。这个问题和图论有关, 最早是由两个美国数学家1962年在American Mathematical Monthly上提出的，相关的参考文献其实很多，下面这个网页大概是讲得最通俗易懂的: "The Stable Marriage Problem" by Harry Mairson，http://www.cs.columbia.edu/~evs/intro/stable/writeup.html

那么，开始激动人心求婚过程啦

第一天上午, 所有的男生都向自己最爱的美眉求婚。下午，每个MM看看自己有没有收到, 收到了多少人的求婚。如果只收到一个男生的求婚，那么就和他订婚。如果收到多于一个GG的求婚，那么就和其中她最爱的那个男人订婚，同时把其他男人都拒掉。如果一个求婚都没有，不要着急，最后总会有的。晚上，检查一遍，如果所有MM都订婚了，OK，万事大吉，明天举行集体婚礼！

但如果还有人没有订婚，那么事情还没有完，第二天还得重复。

第二天上午，所有还没订婚的男生向自己次爱的美眉求婚(因为昨天已经被他们的最爱拒绝了）下午，每个MM再看一遍自己收到订婚的情况。如果她已经订婚了，但是又有一个她更爱的男人来向她求婚，那就把原来那个拒绝掉，再和这个更爱的男人订婚；如果还没订婚，那就和第一天的下午的处理一样。晚上再检查一遍，如果还是有人没有订婚，那第三天再重复。

第三天上午，所有没有订婚的GG，包括第一天订了第二天又被踹出来的（看来要有点忧患意识），再向还没有拒绝过他的MM中他最爱的那个求婚

......
如此周而复始，直到最后大家都订了婚，便一起结婚！哈哈，恭喜恭喜

这么个过程，数学上可以证明如下性质：
1) 这个过程会中止，也就是说，总有大家都订了婚的一天，不可能无限循环。
2) 中止后所有的婚姻是稳定婚姻。我们能证明的是，通过上面那个求婚过程，所有的婚姻都是稳定的，没有人犯错误。
3) 比较引人注目的是，这个过程是male-optimal（男生主动）的，男性能够获得尽可能好的伴侣，比如说最后有二十个女人拒绝了他，他仍然能够得到剩下的八十个女人中他最爱的那一个。
4) 更有甚者，这个过程是female-pessimal的，女人总是在可能的情况下被最不喜欢的人追上  。这一点没有那么直观的理解，勉强要解释的话，可以这么看：虽说女人每换一次订婚对象，都往上升一层，但起点可能很低，虽说在一步步接近她最爱的目标，但最后往往达不到。比如说还差三十名就达到她最爱的人了，但这时Game Over，所有的人都已订了婚，这样她也只能死了心了！还有三十个她更爱的人还没向她求过婚，可是她也无可奈何了...