代码随想录动态规划——不同的子序列

题目

给定一个字符串 s 和一个字符串 t ，计算在 s 的子序列中 t 出现的个数。

字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。（例如，“ACE” 是 “ABCDE”
的一个子序列，而 “AEC” 不是）

题目数据保证答案符合 32 位带符号整数范围。


提示：

0 <= s.length, t.length <= 1000 s 和 t 由英文字母组成

思路

如果本题不是要求子序列，而是求连续序列，则可以考虑KMP算法

动规五部曲：

1. 确定dp数组和下标
   dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]

（我比较习惯dp[i][j] 表示为s[0-i] 和t[0-j]均闭区间的子序列个数，但这样不能表示 s 和 t 空串的情况，所以声明int[][] dp = new int[m + 1][n + 1]; 这样dp[0][x]可以表示s为空串，dp[x][0]同理。）

2. 确定递推公式
   这类问题基本有两种情况（比如什么最长公共子序列、编辑距离，大部分都是dp[i][j] 分别表示s串[0…i] 和t串[0…j]，然后分情况判断s[i]和t[j]等或者不等的情况，而且方程通常都是dp[i-1][j-1] 要么+ 要么 || dp[i-1][j]类似的）
   （1）s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
   此时dp[i][j]可以有两部分组成，考虑s[i - 1] 和不考虑s[i - 1]
   以s = "rara" t = "ra" 为例，当i = 3, j = 1时，s[i] == t[j]，当考虑s[i - 1] 时，即s串使用最后一位的 a，当不考虑s[i - 1] 时，即s串不使用最后一位的 a
   如果用s串最后一位的a,那么t串最后一位的a也被消耗掉，此时的子序列其实=dp[i-1][j-1]，相当于同时消除最后一位，同时前移
   如果不用s串最后一位的a，那就得看"rar"里面是否有"ra"子序列的了，就是dp[i-1][j]，相当于只消除s最后一位，不消除t最后一位，仅s前移

（2）s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等
比如 s = “rarb” t = “ra” 还是当i = 3, j = 1时，s[i] != t[j]
此时显然最后的b想用也用不上，所以只能指望前面的"rar"里面是否有能匹配"ra"的所以此时dp[i][j] = dp[i-1][j]，相当于s前移，t不动

3. 初始化dp
   从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]和 dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 中可以看出dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的
   dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数，空字符串只有一个，所以初始化为1

dp[0][j]表示：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数，那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t

最后关于dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t

4. 确定遍历顺序
   从上到下，从左到右按正序遍历
5. 举例推导dp数组
   以s：“baegg”，t："bag"为例，推导dp数组状态如下：
   

java代码如下：

class Solution {
	public int numDistinct(String s, String t){
		int lens = s.length();
		int lent = t.length();
		int[][] dp = new int[lens + 1][lent + 1];//有很多忽略这个点，开辟空间为n+1表示范围为[0,n]
		for(int i = 0; i < lens; i++){
			dp[i][0] = 1;
		}
		for(int i = 1; i <= lens; i++){
			for(int j = 1; j <= lent; j++){
				if(s.charAt(i-1) == t.charAt(j-1)){
					dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];
				} else {
					dp[i][j] = dp[i-1][j];
				}
			}
		}
		return dp[lens][lent];
	}
}