径向基函数(RBF)插值

RBF函数插值

径向基函数(Radial Basis Function, RBF)插值的基本形式为
F ( r ) = ∑ i = 1 N w i φ ( ∥ r − r i ∥ ) F(\boldsymbol{r})=\sum_{i=1}^N w_i \varphi\left(\left\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i\right\|\right) F(r)=i=1Nwiφ(rri)
式中, F ( r ) F(\boldsymbol{r}) F(r) 是插值函数, N N N 为插值问题所使用的径向基函数总数目(控制点总数目), φ ( ∥ r − r i ∥ ) \varphi\left(\left\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i\right\|\right) φ(rri) 是采用的径向基函数的通用形式, ∥ r − r i ∥ \left\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i\right\| rri 是两个位置矢量的欧氏距离, r i \boldsymbol{r}_i ri 是第 i i i 号径向基函数的控制点位置, w i w_i wi 是第 i i i 号径向基函数对应的权重系数 [ 2 ] ^{[2]} [2]

径向基函数类型很多,总结有如下六种:

  1. Gaussian(高斯曲面函数): φ ( x ) = exp ⁡ ( − x 2 2 σ 2 ) \quad \varphi(x)=\exp \left(-\frac{x^2}{2 \sigma^2}\right) φ(x)=exp(2σ2x2)
  2. Multiquadrics(多项式函数): φ ( x ) = 1 + x 2 σ 2 \quad \varphi(x)=\sqrt{1+\frac{x^2}{\sigma^2}} φ(x)=1+σ2x2
  3. Linear(线性函数): φ ( x ) = x \varphi(x)=x φ(x)=x
  4. Cubic(立方体曲面函数): φ ( x ) = x 3 \varphi(x)=x^3 φ(x)=x3
  5. Thinplate(薄板曲面函数): φ ( x ) = x 2 ln ⁡ ( x + 1 ) \quad \varphi(x)=x^2 \ln (x+1) φ(x)=x2ln(x+1)
  6. Wendland’s C 2 C^2 C2 函数(网格变形常用): φ ( x ) = ( 1 − x ) 4 ( 4 x + 1 ) \varphi(x)=(1-x)^4(4 x+1) φ(x)=(1x)4(4x+1)

现有一系列控制(插值)节点 { r j , F ( r ) j } ∣ j = 1 N \left.\left\{r_j, F(\boldsymbol{r})_j\right\}\right|_{j=1} ^N {rj,F(r)j}j=1N(插值函数 F ( r ) F(\boldsymbol{r}) F(r) 必须经过控制节点),将其带入方程 F ( r ) = ∑ i = 1 N w i φ ( ∥ r − r i ∥ ) F(\boldsymbol{r})=\sum_{i=1}^N w_i \varphi\left(\left\|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}_i\right\|\right) F(r)=i=1Nwiφ(rri) ,可得到:
[ φ 11 φ 12 ⋯ φ 1 N φ 21 φ 22 ⋯ φ 2 N ⋮ ⋮ ⋮ φ 11 φ 12 ⋯ φ 1 N ] ⏟ Φ [ w 1 w 2 ⋮ w N ] ⏟ W = [ y 1 y 2 ⋮ y N ] ⏟ y , 其中 φ j i = φ ( ∥ r j − r i ∥ ) \underbrace{\left[\begin{array}{cccc}\varphi_{11} & \varphi_{12} & \cdots & \varphi_{1 N} \\ \varphi_{21} & \varphi_{22} & \cdots & \varphi_{2 N} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \varphi_{11} & \varphi_{12} & \cdots & \varphi_{1 N}\end{array}\right]}_{\Phi} \underbrace{\left[\begin{array}{c}w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_N\end{array}\right]}_{\mathbf{W}}=\underbrace{\left[\begin{array}{c}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_N\end{array}\right]}_{\mathbf{y}} ,其中 \varphi_{j i}=\varphi\left(\left\|r_j-r_i\right\|\right) Φ φ11φ21φ11φ12φ22φ12φ1Nφ2Nφ1N W w1w2wN =y y1y2yN ,其中φji=φ(rjri)
上式中, Φ = [ φ j i ] \Phi=\left[\varphi_{j i}\right] Φ=[φji] 为插值矩阵。将线性方程组记为 Φ W = y \Phi \mathbf{W}=\mathbf{y} ΦW=y ,可求出 R B F \mathrm{RBF} RBF 插值的权重系数为: W = Φ − 1 y \mathbf{W}=\Phi^{-1} \mathbf{y} W=Φ1y 。在得到每个控制点的权重系数后,就能求出定义域内任意插值点所对应的 F ( r ) F(\boldsymbol{r}) F(r) ,实现插值的功能。

代码测试

文章 [ 1 ] ^{[1]} [1]中代码主要实现的是一维下高斯基函数插值,文章 [ 2 ] ^{[2]} [2]中代码实现的主要是多维下的Wendland’s C 2 C^2 C2基函数插值。借鉴上面篇代码,稍微修改精简一下。

RBF.py

from scipy.linalg import solve
import numpy as np

def rbf_coefficient(support_points, support_values, function_name = 'C2', radius = None):
    """
    计算并返回径向基(radical basis function, RBF)插值函数的插值系数
    :param support_points: 径向基插值的支撑点
    :param support_values: 支撑点上的物理量,如位移、压力等
    :param function_name: 使用的径向基函数,默认为 Wendland C2 函数
    :param radius: 径向基函数的作用半径,默认作用范围包含所有支撑点
    :return: coefficient_mat, 径向基函数的插值系数矩阵
    """
    num_support_points, dim = np.shape(support_points)
    phi_mat = np.zeros((num_support_points, num_support_points), dtype = np.float)
    for i in range(num_support_points):
        for j in range(num_support_points):
            eta = np.linalg.norm(support_points[i] - support_points[j])
            if radius is not None:
                eta = eta / radius
                if eta > 1:
                    continue
            if function_name == 'C2':
                phi_mat[i, j] = (1 - eta) ** 4 * (4 * eta + 1)
            elif function_name == 'cubic':
                phi_mat[i, j] = eta ** 3
            elif function_name == 'linear':
                phi_mat[i, j] = eta
            elif function_name == 'gaussian':
                sig = 1  # 高斯核宽度
                phi_mat[i, j] = np.exp(-1 * eta ** 2 / (2 * (sig ** 2)))
            else:
                print('暂不支持此插值函数')
                return
    coefficient_mat = solve(phi_mat, support_values)
    return coefficient_mat

def rbf_interpolation(support_points, coefficient_mat, interpolation_points, function_name = 'C2', radius = None):
    """
    计算并返回RBF插值的结果
    :param support_points: 支撑点
    :param coefficient_mat: 插值系数矩阵
    :param interpolation_points: 插值点
    :param function_name: 插值函数名,默认为 Wendland C2
    :param radius: 插值函数作用半径,默认作用范围包含所有支撑点
    :return: interpolation_values, 插值点的物理量
    """
    num_interpolation_points, dim = np.shape(interpolation_points)
    num_support_points = np.shape(support_points)[0]
    interpolation_values = np.zeros((num_interpolation_points, dim), dtype = np.float)
    for i in range(num_interpolation_points):
        for j in range(num_support_points):
            eta = np.linalg.norm(interpolation_points[i] - support_points[j])
            try:
                eta = eta / radius
                if eta > 1:
                    interpolation_values[i] += coefficient_mat[j] * 0  # phi = 0
                    continue
            except TypeError:
                pass
            finally:
                if function_name == 'C2':
                    phi = (1 - eta) ** 4 * (4 * eta + 1)
                elif function_name == 'cubic':
                    phi = eta ** 3
                elif function_name == 'linear':
                    phi = eta
                elif function_name == 'gaussian':
                    sig = 1  # 高斯核宽度
                    phi = np.exp(-1 * eta ** 2 / (2 * (sig ** 2)))
                else:
                    print('暂不支持此插值函数')
                    return
            interpolation_values[i] += coefficient_mat[j] * phi
    return interpolation_values

def calculation_rmse(y_hat, y):
    rmse = np.sqrt(np.mean(np.square(y - y_hat)))
    return rmse

测试代码如下:

test.py

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import RBF

def gen_data(x1, x2):
    y_sample = np.sin(np.pi * x1 / 2) + np.cos(np.pi * x1 / 3)
    y_all = np.sin(np.pi * x2 / 2) + np.cos(np.pi * x2 / 3)
    return y_sample, y_all

if __name__ == '__main__':
    function_name = "gaussian"
    snum = 20  # control point数量
    ratio = 20  # 总数据点数量:snum*ratio
    xs = -8
    xe = 8
    x1 = np.linspace(xs, xe, snum).reshape(-1, 1)
    x2 = np.linspace(xs, xe, (snum - 1) * ratio + 1).reshape(-1, 1)
    y_sample, y_all = gen_data(x1, x2)
    plt.figure(1)
    w = RBF.rbf_coefficient(x1, y_sample, function_name)
    y_rec = RBF.rbf_interpolation(x1, w, x2, function_name)
    rmse = RBF.calculation_rmse(y_rec, y_all)
    print(rmse)
    plt.plot(x2, y_rec, 'k')
    plt.plot(x2, y_all, 'r:')
    plt.ylabel('y')
    plt.xlabel('x')
    for i in range(len(x1)):
        plt.plot(x1[i], y_sample[i], 'go', markerfacecolor = 'none')
    plt.legend(labels = ['reconstruction', 'original', 'control point'], loc = 'lower left')
    plt.title(function_name + ' kernel interpolation:$y=sin(\pi x/2)+cos(\pi x/3)$')
    plt.show()

测试结果如下(一维插值):

径向基函数(RBF)插值_第1张图片

径向基函数(RBF)插值_第2张图片

径向基函数(RBF)插值_第3张图片

总结

对于rbf插值中,一般控制点数量越多越密集,插值精度也就越高,但是随之而来的插值矩阵 Φ \Phi Φ 增大,计算量增大,模型训练(权值系数计算)效率变低,正所谓“No Free Lunch”。其次,不同的基函数在同样的数据上插值的表现也有所差异,因此需要选择最优的基函数进行插值计算。

参考

[1] https://blog.csdn.net/xfijun/article/details/105670892

[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/339854179

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