第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.3 线性卷积

◆ 线性卷积运算主要有以下三种求解方法
  (1)图解法
  (2)解析法
  (3)利用MATLAB的工具箱 w=conv(u,v)
◆ 下面以 图解法 作为例子,简单介绍一下线性卷积运算的求解过程
               y(n)=x(n)*h(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(m)h(n-m)
➢将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示,并将h(m)进行 翻转 ,形成h(-m)
➢将h(-m) 移位 n,得到h(n-m)
      n>0时,序列右移
      n<0时,序列左移
➢将x(m)和h(n-m)对应项 相乘相加 得到y(n)
2.2.3 设x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。
解:根据卷积公式:
                 y(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }R_{4}(m)R_{4}(n-m)
根据 R_{4}(m)R_{4}(n-m)的非零值区间,求解求和的上、下限:
                                0 ≤ m ≤ 3
                                0 ≤ n-m ≤ 3 即 n-3 ≤ m n
因此乘积值的非零区间,要求m同时满足上面两个不等式
 
y(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }R_{4}(m)R_{4}(n-m)
卷积过程以及 y ( n ) 波形如右图所示第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.3 线性卷积_第1张图片
     0\leq n\leq 3,y(n)=\sum_{m=0}^{n}1=n+1
     4\leq n\leq 6,y(n)=\sum_{m=n-3}^{3}1=7-n
     y(n)=\begin{cases} n+1, & \text{} 0\leq n\leq 3 \\ 7-n, & \text{} 4\leq n\leq 6 \\ 0, & \text{} 0 \end{cases}
◆ 线性卷积的性质
➢ 设两序列分别的长度是NM,线性卷积后的序列长度为: N + M -1
➢ 线性卷积服从
       交换律x(n)*h(n)=h(n)*x(n)
       结合律:x(n)*[h1(n)*h2(n)]=[x(n)*h1(n)]*h2(n)
       分配律:x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
Note : 对于非线性系统或时变系统,以上性质不成立
◆ 序列本身与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身
          x(n)=\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(m)\delta (n-m)=x(n)*\delta (n)
◆ 序列与移位的单位脉冲序列 \delta (n-n_{0})进行线性卷积,相当于将序列本身移位 n_{0}( n_{0}是整常数)
                                                 y(n)=x(n)*\delta (n-n_{0})
                                                          =\sum_{m=-\infty }^{\infty }x(m)\delta (n-n_{0}-m)=x(n-n_{0})
2.2.4 单位脉冲响应为 h_{1}(n)的系统与单位脉冲响应为 h_{2}(n)的系统的级联如下图

x(n)=u(n) , h_{1}(n)=\delta (n)-\delta (n-4)h_{2}(n)=a^{n}u(n) ,|a|<1,求系统的输出y(n)

第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.3 线性卷积_第2张图片

◆ 线性卷积运算:符号*
由上述线性卷积得到的系统输出序列 y ( n ) 是系统的零状态响应
◆ 系统输出与输入之间的关系

第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.3 线性卷积_第3张图片

第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.3 线性卷积_第4张图片

第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.3 线性卷积_第5张图片

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