第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 2.2.3 线性卷积

◆ 线性卷积运算主要有以下三种求解方法

  （1）图解法

  （2）解析法

  （3）利用MATLAB的工具箱 w=conv(u,v)

◆ 下面以 图解法 作为例子，简单介绍一下线性卷积运算的求解过程

              

➢将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)进行 翻转 ，形成h(-m)

➢将h(-m) 移位 n，得到h(n-m)

      n>0时，序列右移

      n<0时，序列左移

➢将x(m)和h(n-m)对应项 相乘相加 得到y(n)

例 2.2.3 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

解:根据卷积公式:

                

根据 和 的非零值区间，求解求和的上、下限：

                                0 ≤ m ≤ 3

                                0 ≤ n-m ≤ 3 即 n-3 ≤ m ≤ n

因此乘积值的非零区间，要求m同时满足上面两个不等式

 

◆ 卷积过程以及 y ( n ) 波形如右图所示

    

    

    

◆ 线性卷积的性质

➢ 设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为： N + M -1

➢ 线性卷积服从

       交换律：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)

       结合律：x(n)*[h1(n)*h2(n)]=[x(n)*h1(n)]*h2(n)

       分配律：x(n)*[h1(n)+h2(n)]=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)

Note : 对于非线性系统或时变系统，以上性质不成立

◆ 序列本身与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身

         

◆ 序列与移位的单位脉冲序列 进行线性卷积，相当于将序列本身移位 ( 是整常数)

                                                

                                                         

例 2.2.4 单位脉冲响应为 的系统与单位脉冲响应为 的系统的级联如下图

设 x(n)=u(n) ， ， ，|a|<1，求系统的输出y(n)

◆ 线性卷积运算：符号*

◆ 由上述线性卷积得到的系统输出序列 y ( n ) 是系统的零状态响应

◆ 系统输出与输入之间的关系

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