用python证明欧拉公式_欧拉公式怎么证明出来的？保证轻松让你看懂

欧拉恒等式被称为数学中最美丽的公式之一，它把数学中几个看似没有联系的数：圆周率π、自然常数e、虚数单位i、0和1 结合到了一个式子中。

当小见第一次看到这个式子时虽然一脸懵逼，但还是被它的完美震撼到了。它的推导过程对学过微积分的人来说不太困难，其实要证明欧拉公式，在你没有高等数学知识的情况下是几乎不可能的。对于没学过幂级数的人来说，首先要知道一个初等函数展开定理，一个函数f(x)如果是一个初等函数(就是中学阶段学过的所有函数)，且在x=0处邻域(-r，r)内存在任意阶导数，那么f(x)在x=0处可以展开成幂级数，展开式为：

看不懂？没关系，这里只是介绍一下初等函数的展开定理。就是通过这个定理可以把幂函数e^x和三角函数sinx、cosx展开成幂级数：

这三个公式分别为其省略余项的麦克劳林公式，它们都是泰勒公式的一种特殊形式。虽然读者可能看到这里不懂得为什么，但你只要知道这三个式子是通过上面的初等函数展开定理得来的就行了，不必自己算。当e的指数x替换成ix，即实数变量变成了纯虚数变量时，可写出：

所以结合虚数单位和上面的正余弦函数展开式得到一般形式的欧拉公式：

当x=π时，因为cosπ=-1，sinπ=0，所以就这样在没有利用高等数学中微积分知识和复平面圆周运动知识的情况下便证明出了欧拉恒等式：