严正安
严正安

半导体中非平衡载流子的扩散运动，漂移运动，双极扩散

一维扩散方程

空穴——非平衡少子\small \Delta p(x)

扩散流密度 \small s_p=-D_p\frac{d\Delta p(x)}{dx},空穴扩散系数\small [cm^2/s]

在\small x->x+dx范围内，单位时间内增加的空穴数\small [s_p(x)-s_p(x+dx)]A增加的空穴浓度

\small (\frac{d\Delta p}{dt})_{diffuse}=\frac{[s_p(x)-s_p(x+dx)]}{Adx}A=-\frac{ds_p(x)}{dx}=D_p\frac{d^2\Delta p(x)}{dx^2}

而\small (\frac{d\Delta p}{dt})_{composite}=-\frac{\Delta p(x)}{\tau},\small \frac{\partial\Delta p(x,t)}{\partial t}=D_p\frac{\partial^2 \Delta p(x,t)}{\partial x^2}-\frac{\Delta p(x,t)}{\tau}(一维扩散方程)

假设处于稳态，故\small \frac{\partial \Delta p(x,t)}{\partial t}=0 => \ D_p\frac{\partial^2 \Delta p(x,t)}{\partial x^2}-\frac{\Delta p(x,t)}{\tau}=0

通解 \small \Delta p(x)=Aexp(-\frac{x}{L_p})+Bexp(\frac{x}{L_p}),L_p=\sqrt{D_p\tau}

根据样品厚度足够厚这个条件，我们得出边界条件\small \Delta p(0)=\Delta p_0,\ \Delta p(+\infty)有限

得出\small \Delta p(x)=\Delta p_0 exp(-\frac{x}{L_p})，平均扩散距离\small \overline{x}=\frac{\int_{0}^{\infty}x\Delta p(x)dx}{\int_{0}^{\infty}\Delta p(x)dx}=L_p

流密度 \small s_{p}(x)=\frac{D_p}{L_p}\Delta p_0 exp(-\frac{x}{L_p})=(\frac{D_p}{L_p})\Delta p(x)，我们称\small (\frac{D_p}{L_p})为扩散速度

通常情况下\small \Delta p(x)=Aexp(-\frac{x}{L_p})+Bexp(\frac{x}{L_p})

因此我们结合其他知识，可以得出总电流的表达式

\small J_p=-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}+qp\mu_pE 空穴电流

\small J_n=qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}+qn\mu_nE  电子电流

浓度梯度引起的自建电场

----热平衡状态

----n型半导体，掺杂不均匀

----\small n_{0}(x)梯度引起扩散电流

----电中性条件被破坏，因此自建电场

----考虑漂移电流

热平衡状态\small J_1+J_2=0

\small E=-\frac{D_n}{\mu_n n_0(x)}\frac{dn_0(x)}{dx} \neq 0

爱因斯坦关系

导带和价带会产生一定程度上的弯曲，以此来显示出变化，考虑一平衡的不均匀半导体，静电势\small V(x)

自建电场和电势的关系\small E_{self}=-\frac{dV(x)}{dx}

由于\small E_c(x)=E_c+(-q)V(x),相当于把导带底部的电势能进行集体的提升和变化

\small n_0(x)=N_cexp(-\frac{E_c-qV(x)-E_F}{kT})

总电流为0，所以\small J_{tot}=qn_0(x)\mu_nE_{self}(x)+qD_n\frac{dn_0(x)}{dx}=0,将n0代入

得到\small D_n=\frac{kT}{q}\mu_n,\ D_n=\frac{kT}{q}\mu_p,我们称之为爱因斯坦关系，实验证明也适合非平衡的载流子

通常\small \mu_n > \mu_p -> D_n>D_p,电子与空穴的扩散并不同步，电子快，空穴慢

丹倍效应

由于扩散速率一个快，一个慢，引起的效应称为丹倍效应

\small J_{diff}+J_{drift}=-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}+qD_n\frac{d\Delta n(x)}{dx}+qp\mu_pE_{self}+qn\mu_{n}E_{self}=0

我们可以直接求出自建电场\small E_{self}=\frac{D_p-D_n}{n\mu_n+p\mu_p}\frac{d\Delta p}{dx},近似关系\small \frac{d\Delta p}{dx}=\frac{d\Delta n}{dx},这个近似是合理的，因为尽管扩散速率不一致，但是浓度梯度还是一致的

我们有了这样一个关系之后，就可以去求丹倍电压

\small \Delta V=-\int E_{self}dx

对于\small W>>L_p,\small \Delta p=\Delta p_0 exp(-\frac{x}{L_p})，满足一个指数衰减

\small \Delta V=\frac{D_n-D_p}{n\mu_n+p\mu_p}\Delta p_0=\frac{kT}{q}\frac{\mu_n-\mu_p}{n\mu_n+p\mu_p}\Delta p_0

丹倍电场对多子的影响比较大

双极扩散

首先考虑空穴电流的时候，我们需要考虑到漂移运动，而我们在考虑漂移运动的时候，必然需要考虑内电场，和外电场，处于简化考虑我们把此时的扩散运动和内电场作用下的漂移运动放在一起

我们就可以得出\small J_{p-diffuse}^{`}=-qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}+qp\mu_p\frac{D_p-D_n}{p\mu_p+n\mu_n}\frac{d\Delta p}{dx} ，我们利用爱因斯坦关系进行简化

\small J_{p-diffuse}^{`}=-qD\frac{d\Delta p(x)}{dx},D=\frac{D_pD_n(p+n)}{pD_p+nD_n} ,系数叫做双极扩散系数

这个表达式也是有物理含义的，它大大简化了情况

对于n型半导体，丹倍电场对空穴扩散的影响小，对电子扩散的影响大

对于p型半导体，丹倍电场对电子扩散影响小，对空穴扩散的影响大

结论：丹倍电场对少子扩散影响小，对多子扩散影响大

连续性方程

考察的对象，在时间上有前因，有后果，要连续

一维，n型，外电场E

单位时间的空穴浓度的增量

\small \frac{\partial p}{\partial t}=D_p\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}-\mu_pE\frac{\partial p}{\partial x}-\mu_pp\frac{\partial E}{\partial x}-\frac{\Delta p}{\tau}+ g_p

少子=扩散+漂移+复合+产生（我们称之为连续性方程）

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