第三次训练 密码acmore

网站：CSUST7月23号

A题：大意是：一个N多边形，用红，绿，蓝三色给定点上色，要求划分成顶点颜色不同的三角形。

 解析:

这道题是黑书上分治法的例题，还是比较巧的。

首先很容易发现当某种颜色的点只有一个时，很容易解决，只需将该点与其余的点连起来即可。

当每种颜色的点都超过一个时，可以证明必定有三个不同颜色的点连在一起，将这三个点连成一个三角形即可。

于是就可以不断减少点的个数，转化为某种颜色只有一个点的情况。

  1 #include<iostream>

  2 #include<stdio.h>

  3 #include<string.h>

  4 using namespace std;

  5 int r,g,b,c[10010],l;

  6 int f(char a[])

  7 {

  8     int i,j;

  9     r=b=g=0;

 10     for(i=0;i<l;i++)  //每次都要统计颜色的个数

 11     {

 12        if(a[i]=='R')

 13             r++;

 14         else if(a[i]=='G')

 15             g++;

 16         else if(a[i]=='B')

 17             b++;

 18     }

 19     if(r==1)

 20     {

 21         for(i=0;i<l;i++)

 22             if(a[i]=='R')

 23         {

 24             for(j=i-2;j>=(i==l-1?1:0);j--)

 25                 printf("%d %d\n",c[i]+1,c[j]+1);

 26             for(j=i+2;j<(i==0?l-1:l);j++)

 27                 printf("%d %d\n",c[i]+1,c[j]+1);

 28         }

 29         return 0;

 30     }

 31     else if(g==1)

 32     {

 33         for(i=0;i<l;i++)

 34             if(a[i]=='G')

 35         {

 36             for(j=i-2;j>=(i==l-1?1:0);j--)

 37                 printf("%d %d\n",c[i]+1,c[j]+1);

 38             for(j=i+2;j<(i==0?l-1:l);j++)

 39                 printf("%d %d\n",c[i]+1,c[j]+1,l);

 40         }

 41         return 0;

 42     }

 43     else if(b==1)

 44     {

 45         for(i=0;i<l;i++)

 46             if(a[i]=='B')

 47         {

 48 

 49             for(j=i-2;j>=(i==l-1?1:0);j--)

 50                 printf("%d %d\n",c[i]+1,c[j]+1);

 51             for(j=i+2;j<(i==0?l-1:l);j++)

 52                 printf("%d %d\n",c[i]+1,c[j]+1);

 53         }

 54         return 0;

 55     }

 56     else

 57     {

 58         for(i=0;i<l-3;i++)

 59             if(a[i]!=a[i+1]&&a[i+1]!=a[i+2]&&a[i]!=a[i+2])

 60             {

 61                 printf("%d %d\n",c[i]+1,c[i+2]+1);

 62                 for(j=i+1;j<l-1;j++)    //删去中间那个点

 63                 {

 64                     a[j]=a[j+1];

 65                     c[j]=c[j+1];

 66                 }

 67                 c[l-1]='\0';

 68                 l--;    //总数-1

 69                 break;

 70             }

 71     }

 72     if(f(a))

 73         return 0;

 74     return 0;

 75 }

 76 int main()

 77 {

 78     int n,i;

 79     char a[10010];

 80     scanf("%d",&n);

 81     scanf("%s",a);

 82     l=n;

 83     if(a[0]==a[n-1])   //两个相邻的点同色无解

 84     {

 85         printf("0\n");

 86         return 0;

 87     }

 88     for(i=0;i<n-1;i++) //两个相邻的点同色无解

 89         if(a[i]==a[i+1])

 90     {

 91         printf("0\n");

 92         break;

 93     }

 94     r=g=b=0;

 95     for(i=0;i<n;i++)   //统计

 96     {

 97         if(a[i]=='R')

 98             r++;

 99         else if(a[i]=='G')

100             g++;

101         else if(a[i]=='B')

102             b++;

103     }

104     if(r==0||b==0||g==0)   //少一个色即无解

105     {

106         printf("0\n");

107          return 0;

108     }

109     printf("%d\n",n-3);

110     for(i=0;i<n;i++)

111         c[i]=i;   // 标记原来的编号

112     f(a);

113     return 0;

114 }

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本来在子函数里，长度我是每次都重新统计一次的，但是最后l还是等于最初的那个长度，所以我干脆来个全局变量，再每去掉一个点的时候l--，答案才终于对了......我的答案和测试的答案不同，反正是有多种可能，选一种即可。

B：有一个递归函数，但是直接用递归果断超时，请把它写得不超时......Orz,目前有两种方法：1，记忆法，2，找规律，然后再递归。

 1 #include<stdio.h>

 2 #include<string.h>

 3 #include<math.h>

 4 using namespace std;

 5 int x[22][22][22];

 6 int w(int i,int j,int k)

 7 {

 8     if(i<=0 || j<=0 ||k<=0)

 9         return 1;

10     else

11         return  x[i][j][k];

12 }

13 void  zhunbei()   //准备函数，把这些数都准备好，直接调用就行

14 {

15     int i,j,k;

16     for(i=1;i<21;i++)

17         for(j=1;j<21;j++)

18           for(k=1;k<21;k++)

19           {

20                   if(i <= j&&j<=k)

21                     x[i][j][k]=pow(2,i);  //这个找规律找粗来的= =

22                   else

23                 x[i][j][k]=w(i-1,j,k)+w(i-1,j-1,k)+w(i-1,j,k-1)-w(i-1,j-1,k-1);

24           }

25 }

26 int main()

27 {

28     int a,b,c;

29     while(~scanf("%d%d%d",&a,&b,&c))

30     {

31         if(a==-1 && b==-1 && c==-1)

32             break;

33         if(a<=0 ||b<=0 || c<=0)

34             printf("w(%d, %d, %d) = 1\n",a,b,c);

35         else if(a>20 || b>20 || c>20)

36              printf("w(%d, %d, %d) = 1048576\n",a,b,c);   //因为只要A,B,C中有一个>20就等于w(20,20,20),即1048576

37         else

38         {

39             zhunbei();

40             printf("w(%d, %d, %d) = %d\n",a,b,c,x[a][b][c]);

41         }

42     }

43         return 0;

44 }

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做的时候，在zhunbei()上死了一小时，一直死循环......其实可先把x[i][j][k]初始化为1，代码会更简单。

C 大意是输入A,B，求A^B的所有因子之和，对9901取模，如：2^3=8,sum=1+2+4+8=15,输出15.

本来的想法是先求出A的所有因数，在相乘，求和，但是后来找不到方法去实现╮(╯▽╰)╭

下面是大神的解释&代码，出处：http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648539

解题思路：

要求有较强 数学思维 的题

应用定理主要有三个：

要求有较强 数学思维 的题

应用定理主要有三个：

（1）   整数的唯一分解定理：

      任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

      A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数

（2）   约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

    S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3）   同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

 

有了上面的数学基础，那么本题解法就很简单了：

1: 对A进行素因子分解

分解A的方法：

A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时 ，记录2出现的次数+1，A/=2；

当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模...

以此类推，直到A==1为止。

 

注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。

 

最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn.       故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

2：A^B的所有约数之和为：

     sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

3: 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：       1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))       = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

 

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:       1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

      = (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)       = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

   上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

 

4：反复平方法计算幂次式p^n

   这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。

   以p=2，n=8为例

   常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

   这样做的要做8次乘法

 

   而反复平方法则不同，

   定义幂sq=1，再检查n是否大于0，

While，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq

{

   n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4     ，n取半 n=4

   n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16   ，n取半 n=2

n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256  ，n取半 n=1，sq=sq*p

n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2  ，n取半 n=0，弹出循环

}

则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法

代码：

 1 #include<iostream>

 2 using namespace std;

 3 const int size=10000;

 4 const int mod=9901;

 5 __int64 sum(__int64 p,__int64 n);  //递归二分求 (1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n)%mod

 6 __int64 power(__int64 p,__int64 n);  //反复平方法求 (p^n)%mod

 7 

 8 int main(void)

 9 {

10     int A,B;

11     int p[size];//A的分解式,p[i]^n[i]

12     int n[size];

13 

14     while(cin>>A>>B)

15     {

16         int i,k=0;  //p,n指针

17 

18         /*常规做法：分解整数A (A为非质数)*/

19         for(i=2;i*i<=A;)   //根号法+递归法

20         {

21             if(A%i==0)

22             {

23                 p[k]=i;

24                 n[k]=0;

25                 while(!(A%i))

26                 {

27                     n[k]++;

28                     A/=i;

29                 }

30                 k++;

31             }

32             if(i==2)  //奇偶法

33                 i++;

34             else

35                 i+=2;

36         }

37         /*特殊判定：分解整数A (A为质数)*/

38         if(A!=1)

39         {

40             p[k]=A;

41             n[k++]=1;

42         }

43 

44         int ans=1;  //约数和

45         for(i=0;i<k;i++)

46             ans=(ans*(sum(p[i],n[i]*B)%mod))%mod;  //n[i]*B可能会超过int，因此用__int64

47 

48         cout<<ans<<endl;

49     }

50     return 0;

51 }

52 

53 __int64 sum(__int64 p,__int64 n)  //递归二分求 (1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n)%mod

54 {                          //奇数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

55     if(n==0)               //偶数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)

56         return 1;

57     if(n%2)  //n为奇数,

58         return (sum(p,n/2)*(1+power(p,n/2+1)))%mod;

59     else     //n为偶数

60         return (sum(p,n/2-1)*(1+power(p,n/2+1))+power(p,n/2))%mod;

61 }

62 

63 __int64 power(__int64 p,__int64 n)  //反复平方法求(p^n)%mod

64 {

65     __int64 sq=1;

66     while(n>0)

67     {

68         if(n%2)

69             sq=(sq*p)%mod;

70         n/=2;

71         p=p*p%mod;

72     }

73     return sq;

74 }

我只是好奇，为什么不直接用pow(n,i)，貌似pow()里不可以用_int64，而用等比数列的求和公式会超_int64的范围。

D  两个坐标集，求两个坐标集之间的最短距离。

    另开一篇随笔吧......http://www.cnblogs.com/riddle/p/3220110.html

E ，博弈问题，详情见：http://www.cnblogs.com/riddle/p/3218101.html   （另一篇随笔）

F.....

G: 给出一个数，你要找出一个比这个数大，而且，你要找的这个数的各个位之和要是10的倍数，而且，要最小。注意所给的数上午长度<100000，长度！！！！！故要用字符串做。

 1 #include<iostream>

 2 #include<stdio.h>

 3 #include<string.h>

 4 using namespace std;

 5 int main()

 6 {

 7     int n,i,j,sum,l,a[200500];

 8     char b[200500];

 9     scanf("%d",&n);

10     while(n--)

11     {

12         scanf("%s",b);

13         l=strlen(b);  //长度

14         for(i=1;i<=l;i++)

15             a[i]=b[l-i]-'0';  //个位到a[1]，最高位到a[n]

16         for(;;)

17         {

18             sum=0;

19             a[1]++;

20             i=1;

21             while(a[i]==10)   //满10 高位进1

22             {

23                 if(i==l)   //当最高位满10时，加一位

24                 {

25                     l++;

26                     a[l]=0;

27                 }

28                 a[i]=0;

29                 a[++i]++;

30             }

31             for(j=1;j<=l;j++)   //每加1就算一次和

32                    sum+=a[j];

33             if(sum%10==0)

34             {

35                 for(j=l;j>=1;j--)

36                   printf("%d",a[j]);

37                 printf("\n");

38                 break;

39             }

40         }

41     }

42     return 0;

43 }

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这道题特别要注意进位。  时间1250MS....还好限制是5000ms......要不然就挂了T^T